5阶稳定耗散矩阵的代数判定条件*

卢莹莹， 赵晓华

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

本文的研究与如下著名的n维Lotka-Volterra(LV)系统有关:

式(1)中:xj≥0通常表示第j个物种的种群密度;ajk表示作用系数;εj是与环境相关的参数;A=(ajk)称为系统(1)的作用矩阵．这类系统自20世纪二三十年代提出以来，作为应用数学的一个著名系统模型广泛存在于生物学、化学、传染病学、经济学、计算机科学等领域，一直受到国内外相关领域学者的高度关注，积累了大量的研究成果［1-2］．尽管如此，除了对2维LV系统性质已有较全面的认识外，对维数n≥3的一般LV系统的认识还很不够，其丰富的动力学性质还远没有被完整认识．研究表明，LV系统的动力学性质与其作用矩阵A=(ajk)的代数性质具有紧密联系．为方便起见，通常根据作用矩阵A=(ajk)的3种情形，将LV系统分为竞争(或合作)型、保守型及耗散型来研究．

矩阵A=(ajk)是否为竞争(或合作)型，按定义即可直接判断;而矩阵A是否为保守型的判定问题早已被Volterra解决［3］．关于耗散矩阵的判定，自Volterra于20世纪30年代提出耗散矩阵以来，研究进展缓慢．直到1978年，Cross才在文献［4］中给出了3阶实矩阵耗散的充要条件．Redheffer在文献［5］中较系统地研究了任意阶耗散矩阵的判定条件;文献［6］进一步讨论了3×3耗散实矩阵的充要条件及Volterra乘子的唯一性;文献［7-8］研究了比耗散矩阵更符合实际应用的所谓稳定耗散矩阵，获得了稳定耗散判定的一些结果．在文献［5，7-8］的基础上，文献［9］讨论了稳定耗散矩阵的一般判定条件，提出了最大稳定耗散图的概念，得到了稳定耗散矩阵对应图的分类方法，特别证明了5阶最大稳定耗散图有27种．本文针对文献［9］得出的27种稳定耗散图，讨论并证明了5阶矩阵为稳定耗散的代数充要条件．

1 稳定耗散矩阵与最大稳定耗散图

在实际应用中，作用矩阵A的元素ajk一般不能被精确测量，相对耗散矩阵而言，我们更应考虑稳定耗散矩阵．

定义1若n阶作用矩阵˜A满足如下条件:˜ajk=0⇔ajk=0，则称˜A是作用矩阵A的一个扰动．

根据定义2不难看出:稳定耗散矩阵必是耗散矩阵，反之不然．对于n阶耗散矩阵A=(aij)，必有aii≤0(i=1，2，…，n)，且可定义一个n顶点无向图，记为 G(A):若ajj＜0，则顶点 j涂成黑点，否则顶点j用白点(空心点)表示;若 ajk≠0或akj≠0，则顶点 j和k之间有相连边．这样的图称为n阶黑白图，其中连接2个黑点的边称为强连接，否则称为弱连接．

注意，一个耗散矩阵A确定唯一一个黑白图G(A)，而一个黑白图可能对应多个耗散矩阵．因此，当不强调与特定矩阵的联系时，黑白图简单记为G．不失一般性，以下均假定黑白图G是连通图．

为引用方便，先介绍文献［8］中的2个引理．

引理1［8］若 A=(ajk)是 n×n的稳定耗散矩阵，即 A∈SD，则 ajkakj＜ajjakk，其中 j≠k．

由引理1、稳定耗散矩阵和黑白图的定义，立即可得引理2．

引理2［8］若A=(ajk)是n×n的稳定耗散矩阵，则G(A)中的每个圈至少有一个强连接边，即连接2个黑点的边．

尽管文献［5，7-8］已经给出了矩阵为稳定耗散的一些判定条件，但要具体判定一个矩阵是否稳定耗散还是相当复杂的．为此，文献［9］根据引理1和引理2，并通过引入最大稳定耗散图的概念，使得稳定耗散判定问题得到了很大简化．

定义3 若n阶黑白图G的每个圈均含至少一条强连接边(即连接2个黑点的边)，则称G为稳定耗散图．进一步，若在稳定耗散图G上再添加任意一条边产生的新图˜G都不是稳定耗散图，则称原图G是n阶最大稳定耗散图．

根据文献［9］，5阶最大稳定耗散图共有27类，分别记为 G(i)，i=1，2，…，27，如图1所示．其中，顶点编号仅仅是为了更方便讨论对应矩阵为稳定耗散的代数条件．

注1 根据稳定耗散图的定义，若向一个稳定耗散图增加任意棵树，只要没有形成新的圈，则新图也是稳定耗散的．

注2 在最大稳定耗散图中去掉若干条边形成的新图仍然是稳定耗散图．因此，任何一个5阶稳定耗散图均可通过图1中所列的某个最大稳定耗散图去掉若干条边得到．

注3 根据引理2和稳定耗散图的定义可知，稳定耗散矩阵定义的黑白图一定是稳定耗散图．反之，与非稳定耗散图对应的矩阵一定不是稳定耗散矩阵．

图1 5阶最大稳定耗散图

设A1和A2分别是n阶和m阶方阵，它们定义的黑白图分别记为G(Ak)(k=1，2)．若将G(A1)中的一个顶点i和G(A2)中的一个顶点j连接起来，就可得到一个新的黑白图G(A)．相应地，可定义n+m阶矩阵 A=diag(A1，A2)+P，其中 n+m 阶矩阵 P 的元素除了 pi，n+j和 pn+j，i外全为零．根据文献［7］有下面的结论:

引理3 若上述定义的矩阵A满足条件pi，n+jpn+j，i＜0，则矩阵A稳定耗散的充要条件是A1和A2稳定耗散．

根据文献［8］的定理1不难证明下面的结论:

引理4 若A是稳定耗散矩阵，其每个对角线元素aii＜0，那么A一定是可逆矩阵．

因此，对角线元素均小于零的方阵是稳定耗散的必要条件是这个矩阵可逆．

与可逆矩阵的稳定耗散判定有关，文献［5］证明了如下定理:

定理1 设A是m×m的可逆实矩阵，D是同阶的正对角矩阵，B=A-1，且A*，B*，D*是分别由A，B，D除去最后一行及最后一列后形成的m-1阶矩阵，那么:

1)若DA+ATD正定，则amm＞0，D*A*+(A*)TD*和D*B*+(B*)TD*均正定;

2)若amm＞0，D*A*+(A*)TD*和 D*B*+(B*)TD*均正定，则必存在 dm＞0，使得 DA+ATD正定．

利用定理1，马上可得以下引理:

引理5 设A=(aij)为3阶可逆实矩阵，其伴随矩阵为B=(bij)(=|A|A-1)，则存在正对角矩阵D=diag(di)，使得DA+ATD负定的充要条件是下列条件成立:

1)aii＜0，bii＞0，i=1，2，3;

2)不等式(a12+ta21)2＜4a11a22t，(b12+tb21)2＜4b11b22t同时存在关于 t＞0 的解．

2 5阶稳定耗散矩阵的代数判定条件

接下来讨论与图1中的5阶稳定耗散图所对应的5阶矩阵为稳定耗散矩阵的充要条件．从图1可以看到，稳定耗散图G(1)～G(12)都是树结构，对这种特殊的结构，根据定义容易证明下面的定理:

定理2 与稳定耗散图G(1)～G(12)对应的5阶矩阵A稳定耗散的充要条件是:ajk≠0(j≠k)，aii≠0意味着 akj≠0，aii＜0 ，且 ajkakj＜0．

证明 由于稳定耗散图G(i)(i=1，2，…，12)至多有一个黑点，根据引理2，必要性是显然的．下面ATD)XT展开得

由于假设ajk≠0⇒ajkakj＜0，因此存在正对角矩阵元的充分小扰动不会改变相应元素的符号，从而A在定义1下的任意充分小扰动矩阵˜A仍具有与A相同的图及元素符号性质，运用上述证明可证˜A也是耗散的．从而A稳定耗散．定理2证毕．

图1中，耗散图G(13)～G(21)中均恰有一个圈，这些图中恰有一个强连接边．以G(13)为例，可证得如下稳定耗散判定结果:

定理3 图1中G(13)所对应的矩阵A稳定耗散的充要条件是:

证明 根据定义2及引理1，条件1)的必要性立即可证．条件1)的充分性可在下面的证明过程中得出．

为证其他条件的充分必要性，先证明G(13)中1，2，3这3个顶点围成的圈对应的矩阵稳定耗散的条件．根据定义2，这样的3阶矩阵稳定耗散的充要条件是存在正数d1，d2，d3，使得下式对任意向量X恒成立:

从而可得这个3阶矩阵稳定耗散的充要条件是

将式(5)左边展开并化简计算可证得式(5)与定理3中的条件2)和3)等价．

另一方面，根据引理1及上述类似证明可知:另外2个点4，5所形成的图的对应的2阶矩阵稳定耗散的充要条件是a45a54＜0．因此，根据引理3立即可得定理结论．定理3证毕．

注4 对图1中的其他稳定耗散图G(14)～G(21)所对应的矩阵稳定耗散的充要条件按上述过程类似证明，即:先讨论3个点或4个点所形成的圈图的对应矩阵稳定耗散条件，再讨论剩余点的组合图对应矩阵的稳定耗散条件，那么根据引理3，可以得到这个图对应的矩阵稳定耗散的充要条件．

通过与G(13)进行比较，G(14)～G(21)所对应的矩阵稳定耗散的充要条件在表1中给出．

观察图1中的G(22)～G(25)可以发现，这些图均恰有一个3顶点全是黑点的圈．利用引理1、引理5可以得到G(22)～G(25)所对应的矩阵是稳定耗散的充要条件．以耗散图G(22)为例有如下定理:

定理4 图1中G(22)所对应的矩阵A是稳定耗散的，当且仅当下面2组条件同时满足:

证明 条件1)的必要性可直接由引理1推出．下证条件1)的充分性及条件2)的充要性．根据稳定耗散的定义，若与G(22)对应的矩阵A稳定耗散，则存在正对角矩阵D=diag(di)，使得下式对任意向量X成立:

表1 与G(13)比较后G(14)～G(21)所对应矩阵稳定耗散的充要条件

要使式(7)对任意的X都成立，就必须将“≤”变成“＜”．因而，要使式(7)恒成立的充要条件就是矩阵p是稳定耗散的充要条件．并且矩阵p所对应的图是一个由3个点组成全是强连接的稳定耗散图，而根据文献［8］中给出的结论:全部都是强连接的约化图所对应的作用矩阵是非奇异的．因此，可以利用引理5得到式(7)成立的充分必要条件．因此充分性得证．

G(23)～G(25)与G(22)有相同的证明方法，故这里也用表格的形式直接给出相应的条件，如表2所示．

表2 与G(22)比较后G(23)～G(25)所对应矩阵稳定耗散的充要条件

对于G(26)的讨论相对更复杂一些，但可以直接运用定理1中的结论就可以得到如下定理:

定理5 图1中G(26)所对应的作用矩阵A是稳定耗散的，当且仅当下面2组条件同时满足:

1)aii＜0(i=1，2，3，4)，a15a51＜0，a25a52＜0，a35a53＜0，a45a54＜0;

2)存在一个正对角矩阵D0，使得 D*0A*0＜0，D*0B*0＜0．

其中:A*0，B*0，D*0分别是A0，B0，D0去掉最后一行和最后一列后所得到的矩阵;B0=A-10，且

对于稳定耗散图G(27)，可以看出，它的所有点全是黑点，所有的边都是强连接．根据文献［8］中的“全部都是强连接的约化图所对应的作用矩阵是非奇异的”，可直接利用定理1给出其代数判定条件．

定理6 图1中G(27)所对应的作用矩阵A是稳定耗散的，当且仅当下面2组条件同时满足:

1)aii＜0，i=1，2，…，5;

2)存在一个正对角矩阵˜D0，使得˜D*0˜A*0＜0，˜D*0˜B*0＜0．

其中:˜A*0，˜B*0，˜D*0分别是˜A0，˜B0，˜D0去掉最后一行和最后一列后所得到的矩阵;˜B0=˜A-10，且

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