一类新的预条件Gauss-Seide迭代法

高树玲 ,曾京玲

(1.周口师范学院数学系,河南周口466001;2.渭南师范学院教务处,陕西渭南714000)

本文讨论线性方程组

在一种新的预条件因子下迭代法的收敛性。其中A=(aij)∈RnXn非奇异,X,b∈Rn。

不失一般性,假定A的对角线元素全是1,设A=I-L-U,其中-L和-U分别为A的严格下三角和严格上三角矩阵。

考虑预条件系统PAX=Pb,其中P∈RnXn为非奇异矩阵。常见的预条件矩阵有P=I+S和P=I+R。对M-矩阵来说,它们都能加快Gauss-Seide迭代法的收敛速度。其中

I是单位矩阵,aij是(aij)nXn对应位置上的元素。另外还有其他的一些预条件矩阵等。本文考虑一种新的预条件因子

其中

在一定条件下该预条件Gauss-Seide迭代法为收敛的。古典和该预条件后Gauss-Seide迭代矩阵分别记为M-1N,MND。

其中M=I-L,N=U,MD=I-ID-(L-DL+LD),N=U-DU+UD,DL,DU表示D的严格下和上三角阵,ID,LD,UD分别表示D(L+U)的对角阵和严格下和上三角阵。

1 相关的定义和引理

定义1[1]设A=(aij)∈RnXn。若A可表示为A=sI-B,其中B≥0,则当s>ρ(B)时,称A为非奇异的M-矩阵,简称M-矩阵;若A满足aij≤0,1≤i≠j≤n,aii>0,i=1,2,…,n,则称A为L矩阵。其中ρ(B)为矩阵B的谱半径。

定义2[2]若M是非奇异nXn阶矩阵,称A=M-N是A的分裂,若ρ(M-1N)<1,则称分裂A= M-N是收敛的;若M-1≥0,N≥0,则称分裂A=M-N是正规的;若M-1≥0,M-1N>0,则称分裂A=M-N是弱正规的;若M是非奇异的M-矩阵,且N>0,则称分裂A=M-N是M-分裂。

定义3[2]如果一个nXn矩阵A=(aij)满足:i≠j时,aij≤0,A是非奇异的且A-1≥0,则称A为非奇异的M-矩阵。

引理1[2]设A=M-N是A的正规或弱正规分裂,则ρ(M-1N)<1的充要条件为A-1≥0。

引理2[2]如果A为非负矩阵,则

1 )ρ(A)为A的非负特征值;

2 )A有一非负的特征向量x≠0与ρ(A)相对应;

3 )A的任意元素增加时ρ(A)不减。

引理3[3]设A=M1-N1=M2-N2是A的两个弱正规分裂,如果A-1≥0,并且下列条件之一成立:

1 )N1≤N2;

引理4[4]若A是非负矩阵,则

1 )若αx≤Ax对某一非负向量x且x≠0成立,则有α≤ρ(A);

2 )若Ax≤βx对某一正向量x成立,则ρ(A)≤β。进一步,如果A是不可约矩阵且有0≠αx≤Ax≤βx,αx≠Ax,Ax≠βx对某一非负向量x成立,则α<ρ(A)<β且x是一正向量。

2 主要结论和证明

定理1 如果线性方程组(1)的系数矩阵A为非奇异的M-矩阵,且满足:

用ρ(GSS),ρ(GSR),ρ(GSD)分别表示在本文引言中提到的预条件P=I+S,P=I+R,及本文引言中提到的新的预条件P=I+D下G-S迭代矩阵的谱半径,它们的大小比较如表1。

表1 ρ(GSS),ρ(GSR)和ρ(GSD)的大小比较

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