单牙轮钻头牙齿齿形研究

李思涛，马德坤，夏宇文

（1.胜利油田高原石油装备有限责任公司，山东东营257091；2.西南石油大学机电工程学院，成都610500）

单牙轮钻头牙齿齿形研究

李思涛1，马德坤2，夏宇文2

（1.胜利油田高原石油装备有限责任公司，山东东营257091；2.西南石油大学机电工程学院，成都610500）

目前，单牙轮钻头的牙齿使用的是三牙轮钻头的牙齿。由于单牙轮钻头的结构、运动规律和破岩方式与三牙轮钻头有很大区别，使得单牙轮钻头特有的作用及潜力受到限制。建立了单牙轮钻头的坐标系，推导出几何公式，并引入有向距离的概念对单牙轮钻头的牙齿进行研究。根据等磨损原理，提出适用于单牙轮钻头的结构特点和运动规律的牙齿齿形，并提出新的布齿方案，即，在牙轮工作面的永远接触区域内使用轴对称的牙齿；在轮换接触区域内使用椭圆形牙齿。

单牙轮钻头；牙齿；齿形；有向距离

单牙轮钻头既具有三牙轮钻头和PDC钻头的优点，又弥补了二者的不足。国内外的使用结果表明，单牙轮钻头比三牙轮钻头更适用于强度和塑性大的地层，还适应PDC钻头难以适应的硬夹层和其他复杂地层，具有较高的经济效益。因此，在现代钻井技术日益发展的今天，单牙轮钻头是深井和复杂地层中使用的一种可选钻头类型。

目前，在单牙轮钻头上普遍使用的是三牙轮钻头的牙齿。由于单牙轮钻头有其特殊的结构、运动规律和破岩方式，所以现有的单牙轮钻头牙齿并不能完全适应单牙轮钻头的结构特点和运动规律。本文在查阅了大量资料和文献的基础上，从几何学上对单牙轮钻头牙齿进行了研究，给出了单牙轮钻头新的齿形。

球形单牙轮钻头在钻进过程中，牙齿上任意1个点在空间的运动轨迹是连续的、确定的。从距离牙齿齿顶一定高度取1个截面，这个截面的对称中心点的轨迹方程就可以求出来。有了空间曲线方程，它的切线就是已知的，与切线对应的是曲线的法平面，这个平面就把这个时刻截面上的所有点分成2个部分，和切线方向一致的点就可以判断出来，而这些点就是在这个时刻参与实际井底破岩的部分。为此，引入了有向距离的概念［1－3］。

1 单牙轮钻头牙齿研究理论基础

1.1 坐标系统

单牙轮钻头的牙轮表面是球面，所以，牙轮上的空间相对坐标系就采用球坐标系。这个坐标系是随着钻头一起转动和上下移动的。为了便于研究，还在牙齿上建立一个相对坐标系。

为了坐标变换中表示上的方便，用字母加下标的变量来表示坐标系。钻头绝对坐标系用Obxbybzb表示，牙轮相对球坐标系用Ocxcyczc表示。

1.2 几何学公式

单牙轮钻头几何学基本公式为［3－5］

式中，ρc、c、θc是空间1点在牙轮球坐标系下的3个坐标分量；xb、yb、zb是点在钻头直角坐标系下的3个坐标分量；β是钻头轴倾角，即钻头轴线和牙轮中心线之间的夹角。

转换成圆柱坐标为

式中，ρb、θb、zb是点在钻头极坐标系下的3个坐标分量。

1.3 运动学公式

在单牙轮钻头几何学的基础上，利用已有的钻头运动学的一些理论，建立单牙轮钻头运动学基本公式为

式中，ρc（0）、θc（0）、c（0）是牙轮表面上一点在牙轮球坐标系的初始位置坐标；θc（t）是牙轮转动时点在牙轮球坐标系中的瞬时位置坐标；θb（0）是点在钻头坐标系中的初始位置坐标；ρb（t）、θb（t）和zb（t）是点在钻头坐标系下的瞬时坐标值；t是时间序列；nc和 nb分别是牙轮和钻头转速；vb是钻头机械钻速。

有了运动学公式就可以编制程序，绘制出任意1个球形单牙轮钻头在不同运动参数条件下的牙齿轨迹图。同时，为后面的分析和研究奠定基础。

1.4 有向距离

1） 平面的法方程 已知平面π：A×x＋B×y＋C×z＋D＝0。平面的法向向量是幺法矢（任何长度为1的矢量叫做幺法矢），即＋C2＝1。那么就把这个方程叫做平面的法方程。如果幺法矢的方向角是α，β，γ，则平面的法方程还可以表示为：x×cosα＋y×cosβ＋z×cosγ≡P。

1.5 牙齿工作区域

由于单牙轮钻头的运动和结构上的特点，使得球形牙轮上有一部分牙齿始终与井底接触进行破碎岩石，另一部分轮换与井底接触，还有一部分牙齿在钻头工作过程中是一直接触不到井底的。钻头的整个布齿面可分成永远接触区、轮换接触区和永不接触区，这3个区域分别对应于图1中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域。

通常，第 Ⅲ 区域内的牙齿不参与井底模式的形成。即便如此，Ⅰ和Ⅱ区域内牙齿在井底的切削状况也是很不相同的。

图1 牙齿井底工作区域

2 公式推导和结果分析

2.1 单牙轮钻头牙齿研究公式推导

根据前面单牙轮钻头基本几何学和运动学的知识，可以求出钻头牙齿截面中心点的运动轨迹方程。利用空间解析几何的知识，求出这个方程在一个点上的切线方程和对应的法平面方程，进而求出这个截面上任意点到这个法平面的有向距离。根据有向距离的符号来判断这个点是否接触岩石，并且统计截面上所有点在某一个时间段之内接触岩石的概率值，并绘制曲线加以分析［6－7］。具体的推导过程是一组解析几何公式的推导，这里不再详细叙述。

2.2 程序编制和结果分析

在假设井底是完全光滑的半球形的基础之上，编制计算程序，并在计算机上进行调试和运行，对所得结果进行了分析。虽然有一定的误差，但它不会引起质的变化，不会影响对牙齿截面各个位置触底概率大小的评判。

计算过程中保存了牙齿上不同点接触井底的统计概率数据，还根据这些数据绘制出了直观的示意图。钻头上的牙齿，由于其空间位置的不同，也就决定了它在某一截面上点接触岩石概率的变化规律也就各不相同，如图2～7。图中里面的圆代表牙齿截面，外面的曲线到内圆的距离表示这个点实际接触岩石的概率。

2.2.1 永远接触区域（Ⅰ区）

图2是位于钻头表面永远接触区域内的一颗牙齿的触岩概率数据图形。相关的运动参数为：钻头转过的总圈数＝30；钻头轴倾角β＝45°；钻头直径D＝149.2mm；钻头转速ω1＝60r／min；牙轮转速ω2＝36r／min；机械钻速vz＝3m／h；牙齿在牙轮坐标系中的位置坐标α＝30°；θ＝0°。

从图2中可以看出，牙齿截面上各个点的实际触岩概率几乎相等，牙齿截面中心点可看成是一直接触井底的，而这个截面上各个点的实际触岩概率的最大值和最小值相差不大。究其根本原因是这颗牙齿在空间上位于钻头牙轮表面上的永远接触区域内，即这颗牙齿一直在刮削井底。

鉴于此，建议在钻头的永远接触区域内，选用轴对称的牙齿，这样能最大限度的发挥牙齿的功效、减小牙齿磨损，从而延长钻头的寿命。

图2 牙齿截面触底概率分布（θ＝0°；α＝30°）

2.2.2 轮换接触区域（Ⅱ区）

在这个区域内，由于牙齿有部分时间是完全脱离井底的，因此，牙齿触底的时间明显降低，牙齿上各个点实际触岩概率远小于在永远接触区域内的牙齿。

图3是轮换接触区域内一颗牙齿的触岩概率示意图，这颗牙齿的空间位置参数是：θ＝0°；α＝90°。从图中可以看出，牙齿截面上各个点接触井底的概率的分布规律与在永远接触区域内的牙齿是完全不同。

图3中的水平线是牙轮对称轴和牙齿中线所组成的平面在牙齿截面上的投影。从理论上来讲，图中外面的曲线应该是实际的牙齿外形轮廓线，即牙齿的外形。但是，考虑到实际的加工工艺和制造情况，必须对其进行简化。总的来说，要采用前后不对称而左右对称的牙齿，不对称的程度则取决于牙齿实际在牙轮上的空间位置。

图3 牙齿截面触底概率分布（θ＝0°；α＝90°）

图4～7是在轮换接触区域内不同的牙齿的触岩概率的分布规律示意图。从图中可以看出，随着牙轮位置的变化，沿着牙齿截面上的各个点接触岩石的概率是不同的。

图4 牙齿截面触底概率分布（θ＝0°；α＝50°）

图5 牙齿截面触底概率分布（θ＝0°；α＝70°）

图6 牙齿截面触底概率分布（θ＝0°；α＝110°）

图7 牙齿截面触底概率分布（θ＝0°；α＝130°）

2.3 新齿形方案设计

根据图2～7中所得到的曲线的外形可以看出：在牙轮表面上轮换工作区域内的牙齿的外形应该是不完全对称的，即在一个方向上是轴对称的，而在另一个方向上是不完全对称的。也就是说，牙齿在各个方向上的磨损是各不相同的，在轮换接触区域内，牙齿一侧的部分参与岩石切削的时间明显长于另一侧。根据等磨损原理，牙齿的截面应当是不对称的，至少是不能完全对称。于是就在锥形齿的基础上，得出一种新的齿形。针对不同情况，提出2个方案。

1） 方案一 牙齿截面对称，如图8所示。这种牙齿的截面形状以锥形牙齿为基础，取原来锥形齿截面圆的直径作为椭圆截面的短轴，椭圆的长轴长于短轴，具体的数值应该由试验和进一步的研究决定。

图8 牙齿齿形示意（方案一）

2） 方案二 牙齿截面不对称，如图9所示。牙齿截面在一个方向上是对称，而在另一个方向上是不对称的。

图9 牙齿齿形示意（方案二）

上面是根据已有的计算数据而推测出来的2种可能的新齿形。提出新齿形的依据是牙齿上各个点的触岩概率，即牙齿上各点的磨损概率，而这些数据是以单牙轮钻头几何学作为根本依据的，所以，新齿形符合单牙轮钻头的结构特点。但是，它们能否适应单牙轮钻头特有的运动规律和破岩方式，还需要试验来进行验证。牙齿形状的具体几何参数，也要由试验并结合进一步的计算来确定。

鉴于牙齿在单牙轮钻头牙轮上位置不同，它在实际井底的运动和切削规律也各不相同。在牙轮工作面的永远接触区域内，使用轴对称的牙齿；而在轮换接触区域内使用上面提出的椭圆形牙齿。

3 结论

1） 本文从几何学的角度出发，引入了有向距离的概念对单牙轮钻头的牙齿进行了探索，并根据等磨损原理，最终提出适合于单牙轮钻头的结构特点和运动规律的新形状的牙齿，并且得出单牙轮钻头上新的布齿方案：在牙轮工作面的永远接触区域内，使用轴对称的牙齿；而在轮换接触区域内使用椭圆形牙齿。

2） 这种新的牙齿和与之密切结合的布齿方案适应单牙轮钻头的结构和运动特点，可以预见，能够延长单牙轮钻头的寿命，充分发挥单牙轮钻头的优势和潜力，提高单牙轮钻头的使用价值，从而在我国石油勘探和开发中得到越来越广泛的应用。

［1］ 马德坤.牙轮钻头工作力学［M］.北京：石油工业出版社，1994：14－126.

［2］ 马红伟，邓 嵘，盛友萍.单牙轮钻头井底轨迹分析［J］.石油矿场机械，2004，33（5）：41－43.

［3］ 陈东方.牙轮破裂综述［J］.石油矿场机械，2008，37（8）：99－101.

［4］ 喻开安.单牙轮钻头动力学研究［J］.石油矿场机械，2009，38（2）：11－14.

［5］ 邓 嵘，王 方，熊长武.单牙轮钻头的设计与分析［J］.四川大学学报：工程科学版，2001，33（5）：51－54.

［6］ 吴修国，刘 畅.提高小眼井钻井速度初探［J］.石油钻探技术，2000，28（1）：17－19.

［7］ 李剑波，潭安萍.老井重钻小井眼技术特点及问题分析［J］.石油钻采工艺，2000，23（1）：9－13.

Research of Teeth of Single Cone Bit

LI Si－tao1，MA De－kun2，XIA Yu－wen2
（1.Shengli Oilfield Highland Petroleum Equipment Co.，Ltd.，Dongying257091，China；2.College of Mechanical and Electrical，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China）

The single cone bit has potential prosperity that differentiated withtri conebitandPDC bit.However，the teeth of the single cone bit were same with those of tri－cone bit.Thus，the efficiency and advantages was seriously confined because the single cone bit was differentiated with tri－cone bit in structure，moving pattern and cutting rocks.The teeth of the single cone bit were studied geometrically based on the calculation of the contacting percentage of each point of the teeth using the mathematical principle of directional distance.The conclusion was made that a kind of teeth with new shape were fit for the single cone bit suitable for the structure and moving pattern to maintain similar life for different teeth.A new plan to arrange the teeth of the single cone bit was put forward that the axial－symmetry teeth should be set in the continuous－contacting area of the cone and the new teeth should be set on the discontinuous－contacting area of the cone.

single cone bit；teeth；teeth shape；directional distance

1001－3482（2012）06－0005－05

TE921.102

A

2011－12－20

李思涛（1975－），男，山东临沂人，硕士，1999年毕业于西南石油学院机械设计及理论专业，从事钻采机械的设计、研究和生产工作，E－mail：lisitao01＠126.com。