基于极限状态函数响应面的可靠度置信限计算方法*

夏 青，王宏伟，王远达，华 鑫

(空军航空大学航空机械工程系，长春 130022)

0 引言

武器装备的可靠性一般利用试验数据使用数理统计方法进行评估，但是，受经济、时间、空间限制，大型武器系统试验数据样本通常很少，因此使用数理统计方法得到的各种分布参数估计精度不高，具有不确定性，使用这些信息计算的可靠度就是不准确的。可靠性对武器装备至关重要，有必要研究由于分布参数不确定性导致的可靠度不确定性，即计算可靠度的置信区间。传统的置信区间计算方法，如蒙特卡洛仿真(Monte Carlo simulation，MCS)方法，计算效率较低，需要大量计算资源，文中使用极限状态函数响应面方法计算可靠性指标置信限，进而得到可靠度置信限。

1 可靠性指标

在标准正态空间中，可靠性指标β与可靠度R关系为：

其中，Φ－1是标准正态分布的反函数，β又可以理解为标准正态空间中极限状态函数g(u)到坐标原点的最短距离，所谓极限状态是指某一特定状态，整个系统或系统的一部分超过这个状态就不能满足设计规定的某一功能要求。u= {u1，…，un}为基本变量x={x1，…，xn}变换的独立标准正态变量，转换公式为：ui=Φ－1[ Gi(xi)](i=1，2，…，n)，其中，Gi是xi的积累分布函数。因此，可靠性指标为[1]：

对应的点为最大可能点(most possible point，MPP)。

根据式(1)，得到可靠性指标的置信区间，就可以计算可靠度的置信区间。工程中，通常关心可靠度下限，下面使用极限状态函数响应面方法讨论可靠性指标置信下限(置信限)的计算问题。

2 基于极限状态函数响应面的可靠性指标置信限计算

本方法使用响应面[2－3]方法将极限状态函数近似为分布参数的函数，并计算可靠性指标。

用于拟合响应面的点由抽样过程决定，如果抽样点产生于随机变量的联合概率密度函数，则大多数抽样点将集中到均值周围[4]，而计算置信限需要将极限状态函数在MPP进行近似计算。如果选用MCS方法抽样，无法确认MPP，而失效区域(g(x)＜0)中的抽样点接近设计点，因此选择这些点来拟合响应面。如果选择重要抽样方法，大多数抽样点将接近MPP，那么所有的抽样点都可以用于拟合响应面。响应面近似方法提供了极限状态函数的显函数表达式，可以用于计算可靠性指标的置信限。

图1为MCS抽样点的极限状态函数响应面近似方法示意图，基于失效域中抽样点的响应面近似与真实的MPP有偏差，因此引入加权最小二乘的迭代算法，将极限状态函数进行响应面近似。

图1 极限状态函数响应面近似方法示意图

式中：n为维数，a0、ai为响应面系数。

响应面系数的估计通过最小化方差加权和得到。

拟合抽样点的权系数由下列指数方程得到：

dj是标准正态空间中抽样点到MPP的欧里几得标准距离。首次迭代，作为MPP的参数均值是未知的，接下来的迭代中，MPP使用线性近似获得，每次迭代之后，加权系数得到更新，产生新的响应面。迭代过程直到可靠性指标近似收敛才结束。指数方程中的尺度系数α决定了MPP周围进行响应面拟合的区域大小，α的验前信息是未知的，因此在首次响应面拟合时设定为0，接下来的每次循环中都增加指定的量。循环结束的条件是通过MCS计算和线性响应面近似得到的可靠性指标之差小于指定的容许量，或者连续三次的循环计算中响应面近似得到的可靠性指标变化小于指定的容许量。图2为上述分析的示意图。

图2 使用加权最小二乘响应面近似方法计算可靠性指标置信区间流程图

其中，使用极限状态函数的响应面近似计算可靠性指标置信区间的原理[5]如图3。

由于设计变量服从一定分布，因此两个分布参数在标准正态空间中的转换变量u1和u2具有服从正态分布的波动性，在g(u)=0上MPP两侧分别计算u1和u2的联合100c% 置信区间MA和MB，OA和OB的长度就是可靠性指标的置信限βc。

图3 极限状态函数响应面计算可靠性指标置信区间示意图

3 仿真实例

某型导弹弹身上的一个隔框，如图4所示。

框受径向集中力P，框材料为LY12，淬火后的强度极限 σb=411.88MPa。

在图4所示角度α=45°处的内力(弯矩M，轴向力N，剪力Q)分别为：

图4 隔框及其剖面示意图

由弯矩引起的正应力[6]：

框外缘的应力为：

其中：Y1为框外缘到中性轴距离，如图4所示;Jx为与M对应的框剖面惯性矩。

框内缘的应力为：

其中，Y2为框内缘到中性轴距离。由轴向力引起的正应力：

其中，F为框剖面面积。

框外缘总的正应力为：

框内缘总的正应力为：

框剖面内缘失稳临界应力为：

框剖面的剪切力为：

最后，得出剩余强度系数为：

另外，上述计算需要得知中性轴的位置，本示例中，中性轴方程为：Y即为中性轴到横坐标轴的距离。

变量 b服从正态分布 N(μb)，μb服从正态分布 N(10，0.52)，σb服从正态分布 N(1，0.12)，δ2服从均匀分布 U(1，1.2)，单位均为 mm。

极限状态函数为：

本算例的极限状态函数由3个相互独立的函数组成，任一个函数不满足，都认为系统失效。为了将系统的极限状态函数表示为线性表达式，可以将系统看作3个分系统的串联，分系统1、2、3的极限状态函数分别为 ηout－1，ηin－1和 η－1。

计算流程如图5所示。

图5 三个分系统的可靠性指标置信限综合示意图

为了准确建立极限状态函数响应面方程，需要足够的MCS失效抽样点，这就要求MCS仿真次数足够大，尤其是高可靠性系统。本算例为了兼顾计算效率，MCS仿真次数选取10000次。

通过仿真，发现分系统1、3没有失效点，只有分系统2有失效点，可以认为分系统1、3的可靠性置信限均为1。使用MCS抽样点的极限状态函数响应面法计算分系统2的可靠性置信限为0.785，则整个系统的可靠性置信限为3个分系统可靠性置信限的乘积，为 0.785。

使用MCS对整个系统仿真50000次，得到可靠性置信限为0.789，可见，基于极限状态函数响应面得可靠度置信限计算方法精度较高。

4 结论

使用极限状态函数响应面方法计算可靠性指标置信限，进而得到可靠度置信限，这种方法对于样本数据较少的系统而言，精度较高，计算效率较高，对实际复杂大系统有应用价值。

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