材料三维弹塑性应力应变关系分析及Neuber准则适用性验证

□胡天翼（西安交通大学）

1.前言

含圆孔平板在自身受力时出现的应力集中问题是工程中普遍存在的问题，其平面模型是弹性力学中的经典模型，已有了精确的解析解。与平面问题相比，考虑了厚度效应和三维尺寸效应的三维分析更加符合工程实际，因此也更具有指导意义。然而由于三维材料的复杂性和弹塑性状态应力-应变分布的特殊性，目前对带孔圆板的研究主要集中于对构件进行弹性分析，或假定平板厚度足够小，使各项参数能够在厚度方向均匀分布，而对三维弹塑性材料应力-应变关系的准确推导尚无完全定论。用于预测材料局部弹塑性应力应变场的Neuber准则已经在二维弹塑性分析中得到了广泛应用，但其在三维分析领域的准确性依然值得商榷。

文章以胡克定律为立足点，对三维弹塑性材料的应力-应变关系做了进一步的推导，并通过三维有限元方法建立了单轴拉伸状态下的含圆孔有限厚度板模型进行应力应变分析，将其结果与所推导的应力-应变关系对比验证。本文还讨论了Neuber准则对三维构件的适用性，并对其在三维条件下的保守程度与二维条件做了对比。

2.Neuber平衡方程简介和有限元模型介绍

2.1 Neuber平衡方程简介

在分析圆孔根部弹塑性应力应变时，由Neuber提出了平衡方程：

2.2 有限元分析模型

模型计算借助大型有限元计算软件ANSYS-10.0完成。选取1/8试样，坐标原点位于板厚中面圆心，在试样长度、宽度、厚度中面加载对称约束，圆孔远端沿y方向加载大小为N的均匀拉应力。圆孔的半径图1模型的网格划分为r，板的长度2L=400mm，宽度2W=200mm(当r/W<5时，可近似认为圆孔很小，试样为无限大)，厚度为2B=30mm，如图1所示：

图1 模型的网格划分图

在分析中，采用8节点三维实体单元，沿试样的1/2厚度处取15层单元，每层单的厚度从板的厚度中面到表面逐渐减小，间距比率取0.1。在每一单元层的圆孔周围画出三倍半径大小的细化区，采用映射划分(应力集中和塑性区主要出现在三倍半径范围以内)，三倍半径以外区域单元尺寸较大(经实测将二维平板照此方式划分网格，计算结果能很好地符合解析解，误差在1%以内)。在板远端作用有的均匀分布拉应力，材料的弹性模量和泊松比分别为200GPa和0.3，屈服强度300Mpa，切线模量为0，本构关系见图2。

图2 材料本构的定义图

3.三维弹塑性状态下应力应变关系的推导

其中：

将上式代入离面约束Tz及面内约束Tx表达式：

则有应力应变关系表达：

将割线模量Es用等效应变表达，同时表示出弹塑性泊松比νep：

即可得到以Tz，Tx和εep表示的各方向应变：

这里，我们仍然使用前述的Ansys模型提取数据进行计算，来对上述公式进行验证验证。

取2.2中所介绍之模型，令N=230MPa，在塑性区内取出5个具有代表性的点，分别提出 σyy，εep，Tz，Tx这几个值，并计算出，，与实际应变作为对比。

根据表1可以看出，由该式计算出的应变值基本满足精度要求，较为准确。

表1 应力-应变关系公式计算结果与实际应变值对比表

4.三维状态下Neuber准则适用性的讨论

在工程断裂力学领域，对于一个含缺口的受力试样而言，Neuber准则是最为常用的反映缺口根部应力-应变集中与理论应力集中关系的准则之一。Neuber准则的平衡方程已在本文第二部分提到，其在二维弹塑性领域的适用性也已得到广泛认可。然而Neuber准则在用于估计局部应力应变场时往往给出过高的预测结果，也即是预测结果偏保守[6]，那么将Neuber准则应用于三维领域会产生和二维分析相同的效果吗，其结果是否也会偏保守，保守的程度如何？本部分将依然使用前述的Ansys模型提取数据进行计算，来验证Neuber准则在三维状态下的适用性。

表2 不同拉力下三维和二维状态Neuber准则的保守程度对比表

表2为2.2中所介绍之三维模型与其他条件均相同的平面板，由Neuber准则计算所得结果的保守程度对比。表中和分别为由Ansys计算所得的试样局部应变和局部应力。

由该表可以看出，在材料进入弹塑性以后 (拉力N>100Mpa)，Neuber准则的估计值比真实值要保守，保守的程度都在5%-10%之间。相比二维状态，三维用Neuber准则估计出的结果比二维状态普遍更为保守，也即是说，用Neuber准则来估计三维试样的局部应力应变同样是安全的。

5.结论

一是板中任意一点的各向应变值均可由σyy，εep，Tz，Tx表示出，应变值ε与这些值均呈正比关系；二是Neuber准则在三维弹塑性试样估计中仍然具有适用性，并且在三维分析中用Neuber准则估算出的结果比二维状态更为保守，所以此时Neuber准则依然是安全的。