基于粗糙商集的边坡稳定性模糊积分评价

方宏伟，李长洪，方玲玲

(1.北京科技大学 a.金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室;b.土木与环境工程学院，北京 100083;2.苏州大学计算机科学与技术学院，江苏苏州 215006)

1 研究背景

边坡稳定性分析方法有很多种，由于其影响因素的数据难以精确确定，故基于非确定性理论的一类理论模型［1］是较合理的。如李文秀［2］提出了矿山边坡的模糊数学方法。王艳霞［3］认为对边坡稳定分析这一不确定性问题，采用模糊数学方法更符合客观实际，选取反映问题实质的隶属函数是亟需解决和重点研究的问题;并提出最稳妥的确定方法应该是模糊统计，而权重直接影响决策，目前多凭主观经验获取，会导致失真，层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)为解决问题的一个途径。黄飘［4］认为模糊综合评判是其中一种广泛使用方法，但方法本身无突破性进展，而精确的隶属函数应采用模糊统计法建立，AHP法的难点在于判断矩阵的确定。苏永华［5］也认为模糊统计方法确定隶属函数具有较大的准确性，指出困难在于大量样本的实现。可见应用模糊数学方法评价边坡稳定性的难点是隶属度和权重的计算。

粗糙集理论［6］具有处理不确定性问题时不需要数据之外任何先验信息的优点，因此本文在已有研究成果的基础上提出了对粗糙集理论中的属性商集作模糊统计，求解模糊隶属度的集值统计方法(这里将边坡状态作为决策属性而其它因素作为条件属性)。其特点是以边坡稳定状态为内涵，以其它因素为外延，使其结果更符合样本实际，降低求解过程中人为主观因素，可与已有的研究成果来验证其可靠性。同时，以神经网络正交试验［7］求得的各因素对稳定性影响级差之差为依据，构建AHP判断矩阵来计算权重［8］，并与该试验结论作对比分析。相对于其它模糊数学方法，模糊积分(Sugeno积分)特别适合于度量和决策问题［9］，可用其评价边坡稳定性，由边坡样本数据的回判及与其它理论方法结果和工程实际来验证其可行性。

2 边坡稳定性影响因素模糊隶属度的求解

2.1 样本数据离散和属性商集的求解

本文搜集了边坡样本共121个，按编号分别来源于:参考文献［10］(1-82)(为圆弧破坏)，文献［11］(83-108)，文献［12］(109-121);稳定性影响因素5个:重度γ(kN/m3)、黏聚力c(kPa)、摩擦角 φ (°)、坡度 α (°)、坡高 H(m);判别因素 1个:安全系数F;状态S:以0表示破坏，1表示稳定。说明:考虑到其它样本中相关因素数量，仅取文献［12］中部分样本，按原文顺序排列如下(对含有子样本的样本从上到下再次编号):13，2，3，41，42，5，6，72，82，92，93，101，11。

为了求属性商集，首先要对样本数据离散化，尽管粗糙集理论中的相关方法很多，但最可靠还是应用边坡稳定性分析的专业知识，已有的模糊分析方法中因素的评判分级标准为其提供了帮助，但尚无统一的标准。本文根据已有的研究成果并依据样本数值范围，采用表1的分级标准对其进行离散化。如前所述，其中条件属性即为稳定性影响因素和判别因素，决策属性为边坡状态S。说明:为了克服原参考文献中边界值为两个级别的弊端，采取越大越优型属性(γ，c，φ，F)大值增大相应一个单位和越小越优型属性(α，H)小值减小相应一个单位来划分不同级别，分级后的样本数据(部分)见表2。

表1 条件属性值分级标准Table 1 Classification standards of condition attribute values

表2 离散后的样本数据(部分)Table 2 Discrete sample data(portion)

为描述方便，设 Ci(j)=(γ(j)，c(j)，φ(j)，α(j)，H(j)，F(j))，其中 i=1～6表示条件属性，j=1～5表示级别。分级后的样本是有重复的，可采用粗糙集软件Rosetta［6］对条件属性求商集后简化，剩余84个相容决策样本，再对各级别属性求商集U/IND(Ci(j))，计算界面见图1。

图1 Rosetta计算界面Fig.1 Interface of Rosetta computing

2.2 模糊隶属度的求解

首先分析用粗糙商集作集值统计求解隶属度符合模糊统计试验应具备的4个要素［9］:①论域U={Ci(j)}，即条件属性的集合;②U中一个固定元素Ci(j)，即一定级别的条件属性;③U上一个模糊概念，即边坡状态S(决策属性)，对其不确定性统计形成了条件属性商集U/IND(Ci(j))与决策属性商集U/IND(S)的交集，设A为该交集中的单个元素(即单个边坡样本)，则A的每次选择(固定化)就是对边坡状态的一次确切划分，即该边坡样本为何种状态(破坏0或稳定1)，表现了各因素(外延)对边坡状态(内涵)的隶属关系;④条件，影响边坡状态的因素，制约A的选择(运动)。

该试验的基本特点是Ci(j)固定，A变化。U/IND(Ci(j))的基即为Ci(j)固定次数n，可定义为求Ci(j)隶属度的试验次数，在以求0或1状态的隶属度为条件选择A(使A变化)，击中Ci(j)(或Ci(j)捕捉到A)的次数为n0或n1，则对破坏状态的隶属度为μ0(Ci(j))=n0/n，对稳定状态的隶属度为μ1(Ci(j))=n1/n。定义要求n取无穷大，实际一个边坡样本是不同级别属性的组合，n是有一定规模的，这可以从样本数据离散后出现重复得到验证。下面通过求γ(3)的隶属度来说明计算过程:由对应商集的基可知道3级别γ的样本个数n=33，求其与决策属性商集U/IND(S)的交集，可知样本中边坡破坏个数n0=14和稳定个数n1=19，则n0/n表示γ(3)对破坏状态0的隶属度 μ0(γ(3))=0.42，n1/n表示γ(3)对稳定状态1的隶属度μ1(γ(3))=0.58。各级别条件属性隶属度计算结果见表3。

2.3 模糊隶属度的验证

选取安全系数 F的隶属度进行验证，文献［16-17］已经对其作了深入的研究，方法是依据已有的安全系数F与边坡状态S物理关系的研究结论，从常用的隶属函数中选取戒下型岭形分布函数，并各自根据工程经验及样本实例确定其函数参数。需要说明的是，文献［17］的样本也来源于文献［10］，但剔除了安全系数为1.8的破坏边坡一例。将F(j)代入文献中的隶属函数求得隶属度，并与本文结果相对比，见表4。可见本文求得F(1)的隶属度位于区间值以内，其余均位于区间值上限，只是在小数点后的第2位不同，当然采用的样本数据不同，计算结果不可能完全一致，总体上本文的模糊隶属度还是可靠。由于其它因素隶属度是用同样方法求得，故可认为也是合理的。对 γ(1)和 c(2)及α(5)的隶属度为1的情况，说明本文样本有一定的局限性，也再次表明边坡状态是由不同级别属性共同作用决定的。

表3 不同级别条件属性的隶属度Table 3 Membership degrees of condition attributes in different levels

表4 安全系数F隶属度的对比验证Table 4 Comparison and verification of membership degree of safety factor F

3 边坡稳定性的模糊积分评价

3.1 因素权重的确定

神经网络正交分析得到的因素对边坡稳定性影响级 差 值 为 (0.818(γ)，0.972(c)，1.19(φ)，0.342(α)，0.608(H))，用大值与小值的差值作为AHP判断矩阵构建的依据，即若级差之差不超过0.2标度为2(equally to moderately more important)，不超过0.3标度为 3(moderately more important)，不超过0.4标度为 4(moderately to strongly more important)，不超过0.5标度为5(strongly more important)，不超过0.6标度为6(strongly to very strongly more important)，不超过0.7标度为 7(very strongly more important)，超过0.8标度为8(very strongly to extremely more important)，当小值与大值比较时则为相应标度的倒数。

采用SD(Super decision)［18］软件计算，见图2。四舍五入得5个因素权重向量为ω(Ci)=(0.15，0.24，0.50，0.04，0.07)，这与文献［7］的结论是一致的。即边坡稳定性的主要影响因素为φ，c以及γ，其它为次要影响因素;φ的敏感性高于c，γ和α，H;c的敏感性高于γ;γ的敏感性均高于α，H;而H敏感性高于α。F是由以上5个因素求得的，也是边坡稳定性评价的重要判别因素，其权重应与前5个因素权重之和相等，可得6个因素的权重向量为ω(Ci，F)=(0.08，0.12，0.25，0.02，0.04，0.49)。

图2 SD计算因素权重Fig.2 Interface of the calculated factors’weights in software SD

3.2 模糊积分评价方法与应用

在模糊积分评价前，需按隶属度大小对各因素重新排列，如样本1重排列后各因素的排序见表5。由于本文评价因素为6个，为有限情形下的模糊积分，公式［9］为

式中:E1为评价值;u1(i)为因素对稳定状态的隶属度;为因素权重累加。如果公式中取u0(i)，则评价值为 E0，且 E1+E0=1;因此将0.5作为评价临界值，考虑到临界状态是偏于危险的，故定义E1＞0.5为稳定状态1，E0≤0.5为破坏状态0。以样本1为例说明计算过程。ωi计算如下:

ω1=ω(1)=0.25，

ω2=ω(1)+ ω(2)=0.37，

ω3=ω(1)+ ω(2)+ ω(3)=0.39，

ω4=ω(1)+ ω(2)+ ω(3)+ ω(4)=0.43，

ω5=ω(1)+ ω(2)+ ω(3)+ ω(4)+ ω(5)=0.51，

ω6=ω(1)+ ω(2)+ ω(3)+ ω(4)+ ω(5)+ ω(6)=1。

则按模糊积分公式计算E1=0.37，为破坏状态0，与实际相符。

表5 因素重排列Table 5 Factors re-arranged

为了验证方法的可行性以及因素多少对评价结果正确率的影响，对84个样本依次按没有F和有F进行评价(两者区别在于权重的不同)，可知:缺少F时评价正确60个，正确率71.4%;有F时，正确64个，正确率76.2%。可见因素的多少对结果的正确率有一定的影响，因素越多则评价的正确率越高。从样本的选取也可以证明这一点，文献［12］有的样本在本文的6个因素取值相同的情况下，由于其它因素取值的不同而使其状态不同，如前所述即边坡的稳定状态是由多种因素共同作用的结果，不局限于本文6个因素。由于样本的限制，本文只能选取6个因素求隶属度作模糊积分评价。选取样本以外的5个边坡工程实例作模糊积分评价(表6)，可见评价结果可靠。

表6 边坡工程实例数据和模糊积分评价结果Table 6 Data of real slope engineering examples and results of fuzzy integral evaluation

4 结论

边坡稳定性影响因素的确定包含很大不确定性，而在应用非确定性理论模型，如模糊数学方法评价时，存在隶属度和权重难以确定的问题。

本文提出了对粗糙集理论中的属性商集作模糊统计求解隶属度的集值统计算法，降低了人的主观因素影响;与已有研究成果对比表明，该方法的结果是可靠的。以神经网络正交试验分析得到的各因素对边坡稳定性影响级差之差作为AHP判断矩阵建立的依据来求权重，其结果与该试验的结论相一致。引进了更适合度量和决策的模糊积分理论，对边坡样本的分析表明:模糊积分评价结果正确率与因素多少成正向关系;与其它理论方法的结果和工程实际对比可知，该方法评价结果可靠，但计算过程更方便快捷。另外，进一步扩充样本，使所计算得到的模糊隶属度更准确以及与随机可靠性相结合是以后的研究重点。同时，在给定相应充足的样本情况下，本文提出的方法还可应用于评价地基、基坑、地下工程等不同类型工程的稳定性。

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