矩阵代数上的乘积决定点

杨文雷，朱 军，甄南南

(杭州电子科技大学数学研究所，浙江杭州310018)

0 引言

近年来，对于保持某种性质或运算的映射的刻画已成为算子代数的一个非常重要及活跃的研究领域，并且得出了很多结果。文献1讨论了零积决定的矩阵代数，得到了矩阵代数Mn(B)是由零积决定的。文献2讨论了矩阵代数上的全可乘点，指出了:∀G∈Mn，若detG=0，则G是Mn的全可乘点。文献3讨论了矩阵代数上的约当全可乘点。文献4、5讨论了零积决定的李代数，文献6、7讨论了矩阵代数和上三角矩阵代数上全可导点的问题。文献2、3均在讨论了零点处可乘的基础上，研究了在其它点处(约当)可乘的问题，实现了局部性质向整体性质的推广。基于此思想，根据文献1，本文类似的定义在其它点处乘积决定的矩阵代数，并参考了文献1的证明方法，讨论了矩阵代数Mn(B)及一般数域上矩阵代数的乘积决定点的问题，并将所得结论应用于文献2中，简化了部分结论的证明。

1 一般矩阵代数上的乘积决定点

令C是一个交换的含单位元的环，A是C上的一个代数。文献1给出了一个代数A是零积决定的概念，类似的，可定义在其它点处乘积决定的代数的概念。设x，y∈A，用A2表示所有形如xy的元的C－线性扩张。显然当A含单位元时，A2等同于A。令X是一个C－模，{x，y}:A×A→X是一个C－双线性映射。设a∈A，考虑以下3个条件:

(1)存在一个固定的 x0∈X，对于任意 x，y∈A，若 xy=a，则{x，y}=x0;

(2)存在一个 C －线性映射 T:A2→X，使得对于任意 x，y∈A，{x，y}=T(xy);

称A是一个在a处乘积决定的代数，如果对于每一个C－模X及每一个C－双线性映射{x，y}若满足条件1则有条件2成立。此时，称a是代数A的乘积决定点。

参见文献1，可得a是代数A的乘积决定点的一个充要条件。

引理1 a是代数A的乘积决定点当且仅当于对于满足条件1的每一个C－模X及每一个C－双线性映射 { x，y}都有条件3成立。

设B是含单位元的交换环C上的代数，且B含单位元。以下主要讨论矩阵代数Mn(B)的乘积决定点的问题。用eij表示矩阵单位，设b∈B，beij表示(i，j)项为b，其余项为0的矩阵。

证明 设A=Mn(B)，令A是任一C－模，{x，y}:A×A→X是任一C－双线性映射使得条件1成立，以下设 a，b 为 B 中任意元，i，j，k，l表示任意指标。

设 xt，yt∈A 且满足xtyt=0，记 xt=，由式4 －6 可得}=0，从而由引理1定理即得证。

根据上述证明，类似可得下述推论。

推论1 设Y={G∈Mn(B):G中有m个元不为0，其余元均为0，且n－m≥2}则∀G∈Y，G是矩阵代数Mn(B)的乘积决定点。

通过简单的变换，可得下述推论。

推论2 设U是Mn(B)中任一可逆元，Y1={UG:G∈Y}，Y2={G U:G∈Y}，则∀E∈Y1，F∈Y2，E，F均为矩阵代数Mn(B)的乘积决定点。

2 一般数域上矩阵代数Mn的乘积决定点

以下通过几个引理来导出一般数域上矩阵代数Mn的乘积决定点的相关结果。

引理2 设Mn为数域上的矩阵代数，G∈Mn，若 rankG≤n－2，则 G为Mn的乘积决定点，其中rankG表示矩阵G的秩。

引理3 任意可逆矩阵均不是矩阵代数Mn的乘积决定点。

证明 由推论2只需证明In不是矩阵代数Mn的乘积决定点即可。考虑Mn上的双线性映射{ x，y}=φ(x)φ(y)，参见文献2注记3.3，易证In不是矩阵代数Mn的乘积决定点。

引理4 设G∈Mn，rankG=n－1，则G不是矩阵代数Mn的乘积决定点。

由上述3个引理，自然地得到下边的结论。

定理2 设G∈Mn，则G是矩阵代数Mn的乘积决定点的充要条件是rankG≤n－2。

文献2给出了一个矩阵代数的全可乘点的定义。并指出了:∀G∈Mn，若detG=0，则G是Mn的全可乘点。以下将利用定理2对rankG≤n－2的情况给出更简洁的一个证明，并且此时，φ并不要求为双射。

推论3 ∀G∈Mn，若rankG≤n－2，则G是Mn的全可乘点。

证明 设φ:Mn→Mn是任一在G处可乘的线性映射，且满足φ(In)=In，其中G∈Mn，且rankG≤n－2。定义{x，y}= φ(x)φ(y)，则{x，y}:Mn× Mn→Mn为一双线性映射。∀x，y∈Mn，若 xy=G，则{ x，y}=φ(x)φ(y)=φ(xy)=φ(G)。从而{x，y}满足条件1，且G是Mn的乘积决定点。于是存在线性映射，使得对于任意 x，y∈Mn，{x，y}=T(xy)。令 y=In，则有 φ(x)= φ(x)φ(In)={x，In}=T(xIn)=T(x)从而 T(x)=φ(x)，φ(x)φ(y)=φ(xy)，∀x，y∈Mn。定理得证。

3 结束语

本文主要讨论了矩阵代数Mn(B)的乘积决定点的情况，并且完全刻画了一般数域上矩阵代数Mn的乘积决定点。

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