一类具有尺度分布的捕食系统模型的定性分析

王启民，何泽荣，江晓东

(杭州电子科技大学理学院运筹与控制研究所，浙江杭州310018)

0 引言

种群是生态学研究的重要单元，国内外学者进行了大量研究，积累了丰富的成果。就尺度分布模型而言，连续模型较多［1-3］，离散模型较少［4］。自从提出种群的离散模型并详细分析了种群的稳定分布后，一些研究者尝试从离散角度来研究种群的动力学行为［4］。本文应用差分逼近法研究模型非负解的存在性问题，为其应用打好基础。

1 模型

本文提出下列模型:

式中，a1〈x 〈b2，0 〈t〈T，m=1，2，pm(x，t)，gm(x，t)，βm(x，t)，μm(x，t)，λm(x，t)，ωm(x，t)，φm(x)，Pm(t)分别表示食饵和捕食者种群个体尺度密度，增长率，繁殖率，死亡率，相互作用因子，权重函数，初始密度，加权总量。

2 先验估计

引理1 如果 ωm(x，t)，m=1，2，在 Q 上有界，则 Pm(t)在［0，T］上有界。

3 解的存在性

本节应用差分逼近法证明式1解的存在性。对于 m=1，2给出下列基本假设:(1)βm(x，t)，μm(x，t)，λm(x，t)，ωm(x，t)是关于 x，t的非负连续可微函数，(x，t)∈Q，并且为常数，满足2g b×[μm(x，t)-λm(x，t)Pm(t)]≥0;()m(x，t)是关于 x，t的连续可微函数，gm(x，t)〉0，x∈[a，)[0 ，T]，gm(b，t)=0;(3) 对于充分小δ 〉0〈 + ∞;(4)φm(x)∈BV[a，b]，φm(x)≥0，满足 gm(am，0)φm(am)=

式中，j=0，1，2，…，n，k=0，1，2，…，L-1，m=1，2，pm，k△x，定义)T，则式 1 可等价写成下面的系统方程:

可以看出式3存在唯一一组非负解。

引理2 假设 Δt满足 w1mΔt〈1，对于 m=1，2，有‖‖1≤ (1 -Δ t)-k‖pm，0‖1。

证明 在式2的第一个方程两端分别乘以Δx，对j=1，2，…，n求和得到:因此

定理1 由引理6所定义的极限函数p1(x，t)，p2(x，t)是式1的解。

证明 令φ(x，t)∈ C1(Q)，记φ (xj，tk)。则有Δt。取极限 n→∞，L→∞知 pm(x，t)满足解的定义。

4 结束语

本文在提出一类具有尺度分布的食饵-捕食者种群系统模型的基础上，首先证明了模型解的有界性，然后对模型进行离散化，应用差分逼近方法及文献5相关结论进一步研究了模型非负解的存在性。

［1］ JamesWSinko，William Streifer.A New Model For Age-Size Structure of A Population［J］.Journal of Ecology ，1967，48(6):910-918.

［2］ Oldfield D G.A Continuity Equation For Cell Population［J］.Bulletin of Mathematical Biophysics，1966，28(1):545-553.

［3］ Farkas JZ.Stability Conditions For A Non-Linear Size-Structured Model［J］.Nonlinear Analysis:Real World Applications，2005，6(5):962-969.

［4］ Leslie P H.On the use of matrices in certain population mathematics［J］.Journal of Biometrika，1945，33(3):183-212.

［5］ Smoller J.Shock Waves And Rection-Diffusion Equations［M］.New York:Springer-Verlag，1994:276.