Lorenz系统中的普适序列探究

2012-11-22裴启明长江大学物理科学与技术学院湖北荆州434023

长江大学学报(自科版) 2012年25期

裴启明，蒋龙 (长江大学物理科学与技术学院，湖北荆州 434023)

Lorenz系统中的普适序列探究

裴启明，蒋龙 (长江大学物理科学与技术学院，湖北荆州 434023)

在内分岔参数空间下，当x*=2.0,25.3≤z*≤35.0时，Lorenz系统出现了庞加莱映象仅在第一象限或第三象限的局域混沌。对其进行符号动力学分析，发现该混沌吸引子的庞加莱映象能被分割成2部分，必须建立2个字的符号动力学，从而找到了通常只能存在于单峰映射中的普适序列。

Lorenz方程；符号动力学；普适序列

符号动力学是一种拓扑与数值相结合的研究方法，其基本思想为粗粒化描述[1-2]。它起源于19世纪末20世纪初J.Hadmard和M.Morse的工作，曾是证明拓扑动力系统研究中各定理和遍历理论的有力工具。利用符号动力学对动力学系统进行分析可以获取许多单纯借助分析或数值方法不能得到的整体性的结论[3]。

在内分岔参数空间下，Lorenz系统的新形式为：

(1)

文献[4]对该系统的线性稳定性进行了详细的研究，指出当x*=2.0, 25.3≤z*≤35.0时，系统处于局域混沌，该吸引子的庞加莱映象仅有第一象限或第三象限中的一支，如图1中离散点所示。下面，笔者对其进行了符号动力学分析。

1 不稳定周期轨道序列

图2给出相应的首归映射。它是一个单峰映射，图2中菱形给出映射的临界点C。临界点C对应于x-y平面上吸引子与稳定流型的切点，它将相平面分割成2部分，分别用字母L、R表示，如图1所示。C点左边的L支单调上升，则L具有偶性；其右边的R支单调下降，则R具有奇性。可见，此时的符号序列描述需要2个字。图1还给出了不稳定流型与稳定流型之间另外的2个主切点(菱形)和过切点的稳定流型(虚线)。根据实数大小，此时的自然序为：

图1 庞加莱截面上的混沌吸引子(离散点)，稳定流型(虚线)以及切点(菱形) 图2 首归映射

LCR

(2)

于是得到排序规则：

EL…EC…ER…OL…OC…OR…

(3)

式中,E(O)代表含有偶数(奇数)个字母R的有限字符串，称为偶(奇)字节。

由C点决定的揉序列字为：

H=RLLRLRRRRRLLRLR

由H可给出允字条件：

L(Σ)≤HR(Σ)≤H

(4)

式中，L(Σ)是序列Σ的L后继序列集，即对序列Σ的符号逐个审查，一旦遇到字母L就收集其后续序列，得一个新序列；继续对这个新序列进行审查，遇到字母L后又收集其后续序列。反复进行搜集，直到没有新的序列出现为止。将每一次得到的新序列集合起来，即为L(Σ)。R(Σ)的定义类似。

表1 x*=2.0,z*=25.3时周期至6的不稳定允许字及其首字母的位置坐标(x,y)

根据排序规则(2)、(3)和允字条件(4)，可以给出x*=2.0,z*=25.3时周期直至6的不稳定周期字，如表1所示。可见，周期至6的不稳定序列少了RRLL，RLLL，LLRL，RLLRR，RLLLR，RLLLL，RLLRRR，RLLRRL，RLLLRR，RLLLRL，RLLLLR，RLLLLL等12个，这是被允字条件(4) 禁止的结果。例如Σ=(RRLL)∞，其R的后继序列之一R(Σ)=RLLRRLLR…>H，这与条件R(Σ)≤H相违背。

2 稳定周期轨道序列——普适序列

图3 x*=2.0,z*=25.4366时，庞加莱截面上暂态轨道的首归映射，临界点(空心圆)以及稳定周期序列7P=RLRRRRC(菱形)

以上给出的是参数一定时的不稳定周期轨道序列。利用符号动力学，也能给出不同参数下的稳定周期轨道序列字。当参数范围内存在周期窗口时，区间上仅有少量的轨道点，不能给出相应的首归映射，因此不能明确地标注轨道点的符号。然而，由文献[3]可知至少有2种方法来解决这个难题：

1)可以在周期窗口附近的混沌区域选取参数，得到混沌吸引子并将周期点添加到该混沌吸引子上。大多数情况下，可以通过从混沌吸引子上计算的揉序列对来产生与不稳定周期轨道共存的稳定周期轨道。

2)可以采用一系列初值，并尽可能地保留系统达到稳定周期之前的暂态点。通过这些暂态点，就可以像前面一样建立首归映射。如果暂态较多时，用该方法计算稳定周期轨道序列更方便。如x*=2.0,z*=25.4366时，庞加莱截面上暂态轨道的首归映射如图3中离散点所示，它与图2的形状一样。其中空心圆为临界点，菱形为周期轨道点，数字表示迭代次序。可见，此时系统处于7P(P表示周期)态，相应的序列记为7P=RLRRRRC。

结合以上2种方法，可以给出x*=2.0,25.27