关于一个无限维四元空间列的研究

吴拿达

（韩山师范学院 数学与应用数学系，广东 潮州 521041）

1 引言

文中所有空间都默认为可分、可度量化拓扑空间.在拓扑研究中,不仅需要研究空间的拓扑结构，还需要研究小空间在大空间中的拓扑位置（如果存在包含关系的话）.为此，有必要研究相应的拓扑空间列.

设X1,X2,…,Xi,…,Xn为一组空间且满足 X1⊃X2⊃…⊃Xi⊃…⊃Xn,则（X1,X2,…,Xi,…,Xn）被称为n元空间列.当n=2时，称为空间对.两个空间列(X1,X2,…Xi,…,Xn)和 (Y1,Y2,…Yi,…,Yn)同胚(下文用符号(X1,X2,…Xi,…,Xn)≈(Y1,Y2,…Yi,…,Yn)表示)指的是存在一个同胚 h:X1→Y1使得h(Xi)=Yi,i=1,2,…,n.在无限维拓扑学中，常把上述Xi取成一些重要的无限维空间来研究.下面先介绍几个重要的无限维空间.

设Q=[-1,1]∞是希尔伯特方体赋予度量ρ:Q×Q→Q定义如下：对任意x,y∈Q，

对希尔伯特方体及它的一些子空间列成的空间列，已经有一些不错的研究结果.在文[1]中，有分别对空间对(Q ,c0)和(Q ,∑) 的刻画.在文[2]中，给出一个例子说明对一个三元空间列(X ,Y,Z)，即使(X ,Y)≈(Q ,∑)(或 ≈(s , ∑) ) 且(X ,Z)≈(Q ,σ)(或 ≈(s , σ ) )，仍不能推出(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,σ ).对空间列的研究还有一些应用意义.例如，在文[3-6]中，空间列的知识被应用去研究具有数字图像背景的函数空间[7]的拓扑结构.

本文主要研究四元空间列(Q ,s,∑,c0)和它的各三元空间列之间的关系以及研究三元空间列(Q ,∑,c0)和它的各空间对之间的关系.

2 预备知识

本节介绍一下相关的概念和引理，更多的相关概念可以参看文[1]或[8].

定义1 设X和Y是空间.C(X ,Y)表示从X到Y的全体连续函数.id(X)表示X上的恒等映射.若 A⊂X,f∈C(X ,Y)则 f|A:A→f(A)表示 f在A上的限制映射.

定义2 设A是度量空间(X ,d)的一个闭子集.若对任意连续函数ε:X→(0 ,+∞),存在一个连续函数 f:X→XA使得d( f (X),X )＜ε(X )对任意x∈X都成立，则A称为X的一个Z-集.若X是紧的，则函数ε可换成正数ε.一个空间中的子集若能表示成该空间可数多个Z-集的并集，则称之为一个Zσ-集.下文用Z(X )和 Zσ(Z)分别表示空间X中的所有Z-集和所有Zσ-集之集.如果一个嵌入映射的像是一个Z-集则称它为一个Z-嵌入.

定义3 设M0表示所有紧空间列成的空间类.可数多个σ-紧空间的交集称为绝对Fσδ-集.所有绝对Fσδ-集构成的空间类下文用符号Fσδ表示.

定义4 设(X ,d)为一个空间而Y⊂X.若对Q的任意一个Fσδ-集C，对任意连续映射 f:Q→X,对任意ε＞0,对任意使得 f|K是一个Z-嵌入的Q中的闭子集K，都存在一个Z-嵌入g:Q→X使得g|K=f|K,g-1(Y)K=CK且d(g (x),f(x) )＜ε所有x∈Q都成立，则空间对(X ,Y)被称为强(M0,Fσδ)-万有的.

定义5 空间X的子集Y在X中同伦稠，指的是存在一个同伦h:X×I→X使得h0=id(X)且ht(X)⊂Y对任意t＞0都成立.容易验证∑和c0在Q中同伦稠.

定义6 一个同胚h:Q→Q若满足h(s)=s则被称为一个保边同胚.

关于保边同胚，有下面一个重要的引理.

引理1（[8,定理 6.3.4]）.设 E、F⊂s都是紧空间,f:E→F是一个同胚且对任意 x∈E有ρ( f (x),x)＜ε,则存在一个保边同胚h:Q→Q使得h扩张了 f且对任意x∈Q仍有 ρ(f (x),x) ＜ε.

下面引理给出三元空间列(Q ,∑,c0)的一个刻画.

引理2 [3,定理3]设(X ,d)是一个度量空间而Z⊂Y⊂X.则(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0)当且仅当下面条件皆成立:

（1） X≈Q；

（2）Y能写成一个塔 (Yn)n(即Yn⊂Yn+1)的并，且该塔满足

（a）对任意n,有Yn∈Z(Yn+1)∩Z(X)；

（b）对任意n,有(Yn,Yn∩Z )是(M0,Fσδ) -万有的且Yn≈Q；

（c）对任意ε＞0,n∈N,A∈Z(X),存在数m＞n和一个同胚h:X→X使得h|Yn=id(Yn),h(A)⊂Ym,d(h (x),x)＜ε对任意x∈X都成立.

3 三元空间列( )Q,∑,c0和它的空间对之间的关系

一般而言,对两个空间列(X ,Y,Z)和(A ,B,C),即使有(X ,Y)≈(A ,B),(X ,Z)≈(A ,C),(Y ,Z)≈(B ,C),仍不能推出(X ,Y,Z)≈(A ,B,C).下例说明此点.

例1 设X=A=[-3,3]是闭区间(赋欧氏度量)，Y=B=[-3,-2)∪[-1,1],Z=[-1,1),C=(-1,1].不难验证(X,Y)≈(A,B),(X,Z)≈(A,C),(Y,Z)≈(B,C)，但 (X ,Y,Z)不同胚于(A ,B,C).

然而对空间列(Q ,∑,c0),却有下面的结论.

定理1 设(X ,Y,Z)是空间列.(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0)当且仅当(X ,Z)≈(∑ ,c0)且Y在X≈Q中同伦稠.

证明 必要性是显然的.下面证明充分性.设d是X的一个容许度量.下面验证(X ,Y,Z)满足引理2的条件.条件（1）已经成立，下面验证条件（2）.因(X,Y)≈(∑ ,c0)，故存在一个同胚 h:∑→Y使得h(c0)=Z令则此外在引理2的证明中[3]，证明了对于塔(∑n)n，空间列(Q ,∑,c0)满足引理2的条件（2）.下面只需验证塔(Yn)n也满足引理2的条件(a),(b),(c).

(a) Yn∈Z(Yn+1)∩Z(X)对任意n都成立.

由(∑n+1,∑n)≈(Yn+1,Yn)可得Yn∈Z(Yn+1).因(∑ ,∑n)≈(Y ,Yn)且∑n∈Z(∑) ,所以Yn∈Z(Y).因此由Y在X中同伦稠的条件可得Yn∈Z(X).

(b)对任意n有(Yn,Yn∩Z )是强(M0,Fσδ) -万有的且Yn≈Q.

此条件由(Yn,Yn∩Z )≈(∑n,∑n∩c0)直接可得.

(c) 对任意 ε＞0,n∈N,A∈Z(X),存在 m＞n和同胚 H:X→X使得 H|Yn=id(Yn),H(A)⊂Ym而d(H (x),x)＜ε对任意x∈X都成立.

由同胚扩张定理([8,推论5.3.8])和X≈Q,可知存在γ＞0使得X中任意移动不超过γ的两个Z-集之间的同胚都能扩张成X上的一个同胚且与恒等映射的距离不超过ε.因为Y≈∑，所以存在一个包含Y为子空间的空间X′和一个同胚Ψ:Q→X′使得Ψ|∑=h.此外,可设是X′上的一个度量满足Y×Y=d|Y×Y.因为 Ψ 是一致连续的，所以存在 δ＞0 使得对任意满足 ρ(x ,x′)＜δ的两点 x,x′∈q有(Ψ (x),Ψ(x′))＜γ.由 A∈Z(X ) 知 Ψ-1(A)∈Z(Q).因为塔(满足引理2的条件(c)，所以存在同胚H′:Q→Q和m＞n使得 H′|∑n=id(∑n),H′(Ψ-1(A))⊂∑m,且ρ(H′(y),y)＜δ对任意y∈Q都成立.

定义Φ:X′→X′如下：对任意 x∈X′,Φ(x)=Ψ∘H′∘Ψ-1(x).

首先，对任意y∈Yn,Φ(y)=Ψ∘H′∘Ψ-1(y)=Ψ∘Ψ-1(y)=y,即Φ|Yn=id(Yn).

其次， Φ(A)=Ψ∘H′∘Ψ-1(A)⊂(∑m)=h(∑m)=Ym.

最后，对任意x∈X′，因为 ρ(H ′(Ψ-1(x) ),Ψ-1( x) )＜δ,所以 d(Ψ (H′(Ψ-1(x) )),Ψ (Ψ-1(x) ))＜γ ，即

由 Φ|Yn=id(Yn)和 Φ(A)⊂Ym,可 得 Φ(A ⋂Yn)⊂Y.因为 A⋃Yn∈Z(X)且d(Φ (x),x)＜γ 对任意x∈A∪Yn都成立，可以把同胚扩张成同胚H:X→X使得对任意X∈X都有d(H (X),X )＜ε.故上述正整数m和同胚H即为所求，即条件(c)也成立.证毕.

由定理1可得下面推论.

推论1 若X≈Q,Y≈∑而Y在X中同伦稠，则(X ,Y)≈(Q ,∑).

推论2 设(X ,Y,Z)是空间列，则(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0)当且仅当(Y ,Z)≈(∑ ,c0)而(X ,Y)≈(Q ,∑)或(X ,Z)≈(Q ,c0).

问题1 对一个三元空间列(X ,Y,Z)，若(X ,Z)≈(Q ,c0)且(X ,Y)≈(Q ,∑) ，是否能推出(X ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0)?

4 四元空间列( )Q,s,∑,c0和它的三元空间列之间的关系

由引理2的证明[3]及引理1，可直接得到下面定理.

定理2 设(Q ,s,Y,Z)是空间列.则(Q ,s,Y,Z)≈(Q ,s,∑,c0)当且仅当下列条件（*） 成立:

（*）Y可写成一个塔(Yn)n的并，且该塔满足下列条件：

(a) Yn∈Z(Yn+1)∩Z(X)对任意n成立；

(b)对任意n有(Yn,Yn∩Z )是强(M0,Fσδ)-万有的且Yn≈Q；

(c)对任意ε＞0,n∈N,A∈Z(X),存在一个数m＞n和一个同胚h:X→X使得h|Yn=id(Yn),h(A)⊂Ym,且d(h (x),x)＜ε对任意x∈X都成立.

比较引理2和定理2，易得下面的推论.

推论3 设(Q ,s,Y,Z)是空间列,下面条件等价:

（A） (Q ,s,Y,Z)≈(Q ,s,∑,c0);

（B） (Q ,Y,Z)≈(Q ,∑,c0);

（C）条件(*)成立.

注1 空间列(Q ,s,Z)满足(Q ,Z)≈(Q ,c0),不能推出(Q ,s,Z)≈(Q ,s,c0).

例如，在文[9]和文[10]中，有一个空间Ω2⊂s满足 Q,Ω2≈(Q ,c0)但(s , Ω2)不同胚于(s , c0).事实上，但不存在任意一个σ-紧空间A使得s⊃A⊃Ω2.这个例子说明s和c0的一个同胚像之间能否插入一个σ-紧空间，对c0的该同胚像在s中的拓扑位置有很大的影响.

推论4 设(A ,B,C,D)是空间列，则(A ,B,C,D)≈(Q ,s,∑,c0)当且仅当(A ,C,D)≈(Q ,∑,c0)且(A ,B,C)≈(Q ,s,∑).

证明 必要性显然，只需证明充分性.因为(A ,B,C)≈(Q ,s,∑) 故存在同胚h:Q→Q使得h(B)=s,h(C)=∑.令 E=h(D),则(A ,B,C,D)≈(Q ,s,∑,E ) 因而 (Q ,∑,E )≈(A ,C,D)≈(Q ,∑,c0).由推论3,有(Q ,s,∑,E )≈(Q ,s,∑,c0)成立.

注2 对一般的四元空间列(A ,B,C,D),即使(X ,Y,E,F)满足(A ,C,D)≈(X ,E,F),(A ,B,C)≈(X ,Y,E),(A ,B,D)≈(X ,Y,E),(B ,C,D)≈(X ,Y,E),仍不能推出(A ,B,C,D)与(X ,Y,E,F )同胚.例如取A=X=[-4,4]是闭区间(赋欧氏度量),B=Y=[- 4,-3)∪[- 2,2],C=E=[- 1,1],D={-1},F={1}都是A的子空间.容易验证(A ,B,C,D)不同胚于(X ,Y,E,F),但它们相应的三元空间列都同胚.

推论5 设(A ,B,C,D ) 是空间列，则(A ,B,C,D)≈(Q ,s,Σ,c0)当且仅当 (B ,C,D)≈(s , ∑,c0)且(A ,B)≈(Q ,s).

证明 必要性显然，仅需证明充分性.因为(A ,B)≈(Q ,s),所以 B在 A中同伦稠.又因为(B ,C,D)≈(s , ∑,c0)所以C也在B中同伦稠，进而，C在A中同伦稠.故由定理1,(A ,C,D)≈(Q ,Σ,c0).因为(A ,B)≈(Q ,s),故存在一个同胚h:A→Q使得h(B)=s.令Y=h(C),则(A ,B,C)≈(Q ,s,Y).因此Y也在Q中同伦稠.由Y≈C≈∑和推论1可得(Q ,Y)≈(Q ,Σ).再由推论 3,可知(Q ,s,Y)≈(Q ,s,Σ) .因此，(A ,B,C)≈(Q ,s,∑).由推论4,(A ,B,C,D)≈(Q ,s,Σ,c0).证毕.

5 结语

本文给出了四元空间列(Q ,s,Σ,c0)及其子空间列的一些关系，通过这些关系可以把证明四元空间列(A ,B,C,D)同胚于(Q ,s,Σ,c0)的问题转化为证明相应的一些三元空间列或空间对同胚的问题.一般而言，当n越大，要证明两个n元空间列同胚就越难.因此，本文的结果在一定程度上有助于降低证明一个四元空间列(A ,B,C,D)同胚于(Q ,s,Σ,c0)的难度.

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