一类固定系数解析函数的极值点与支撑点

熊良鹏,刘晓丽

(成都理工大学工程技术学院，四川 乐山 614000)

0 引言

设A表示所有在单位圆盘Δ={z:|z|<1}上解析的函数组成的函数类．A上的拓扑定义为内闭一致收敛拓扑．A在内闭一致收敛拓扑下成为一个局部凸拓扑线性空间．设F是A的一个紧子集，f∈F，如果存在A上的一个连续线性泛函J，满足条件：ReJ在F上不为常数，并且ReJ(f)=max{ReJ(g):g∈F}，则称f是F的一个支撑点．F的所有支撑点之集记为suppF．假设X是一个线性拓扑空间，U是X的一个子集．如果对任何x，y∈U和0≤t≤1，都有tx+(1-t)y∈U，则称U是X的一个凸子集．包含U的所有闭凸集的交集称作U的闭凸包，记作HU．假设U⊂X，u∈U.如果当0

本文中主要得到函数族Q的极值点集和支撑点集.

1 主要结果

1.1 函数族Q的极值点

引理1.1.1[10]设A为一局部凸的线性拓扑空间，F为A的一个紧子集，则下面结论成立：

(1) 如果F非空，则EF也非空；(2)HEF=HF；(3) 如果HF是紧集，则EHF⊂F.

即f(z)∈Q.

再假设

上述过程证明了V⊂EQ.

反之，由引理1.1.2，这里有Q=HV.事实上，这里也容易证明Q为一紧集.再由引理1.1.1，显然有EQ=EHV⊂V.总之，证明了EQ=V.

1.2 函数族Q的支撑点集

设ReJ(f1)=ReJ(f2)=M，这里f1∈GJ，f2∈GJ，0

假设

，k∈Z1},

这里Z1为Z0={n+2，…，n∈N}的子集.事实上，Z1为Z0的真子集.下面用反正法证明这一点.

如果不然，则

(*)

令k→∞，这使ReJ(zk)→0，k≥n+2，n∈N.由(*)式得

又因为GJ是一个紧凸集，由引理1.1.1有GJ=HEGJ.如是，函数f0∈GJ可以表示为

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