一类二阶具偏差变元的微分方程周期解

陈月红 林伟伟

(广东技术师范学院计算机学院应用数学系，广东 广州 510665) (华南理工大学计算机学院，广东 广州 510640)

一类二阶具偏差变元的微分方程周期解

陈月红 林伟伟

(广东技术师范学院计算机学院应用数学系，广东 广州 510665) (华南理工大学计算机学院，广东 广州 510640)

x″(t)+f((t))x′(t)+g(t,x(x(t-τ(t))))=p(t)

(1)

式中，f,g,p∈C(R,R)均为实连续泛函，τ(t)∈C1(R,R)，∀t∈R，且τ(t)、p(t)是关于t的T-周期函数，T>0。笔者讨论了方程(1)的周期解存在性问题。

1 预备知识

设X,Y均为Banach空间，L:DomL⊂X→Y是线性映射，N:X→Y是连续映射。若dim KerL=codim ImL<+∞，及ImL在Y中闭，则L称为指标为0的Fredholm算子。

(i)λ∈(0,1),x∈DomL∩∂Ω,Lx≠λNx；

(ii)∀x∈∂Ω∩KerL,QNx≠0及deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0;

则∀x∈∂Ω∩DomL，方程Lx=Nx至少存在一个周期解。

引理2[8]令CT是由实连续的T-周期泛函x=x(t)构成的集合，则对∀x=x(t)∈C(1)(R,R)∩CT，∀ξ∈[0,T],有:

(2)

定义映射X∩C(2)(R,R)→Y，N:X→Y，并有：

Lx(t)=x″(t),t∈RNx(t)=-f(x(t))x′(t)-g(t,x(x(t-τ(t))))+p(t)

(3)

(4)

易验证KerL=ImP，KerQ=ImL=Im(I-Q)，L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL有一个定义在Kp上的逆映射，且由式(2)定义出的映射L是指标为0的Fredholm算子。

2 周期解的存在性

(Ⅰ) |f(x(t))|≤k|x(t)|+c，∀t∈R；

(Ⅱ)|g(t1,x(x1(t1)))-g(t2,x(x2(t2)))|≤L(|t1-t2|+|x1(t1)-x2(t2)|)，∀t1,t2∈R；

(Ⅲ)xg(t,x)>0，∀t∈R，|x|>d;

证明令：

x″(t)=-λf(x(t))x′(t)-λg(t,x(x,(t-τ(t))))+λp(t),λ∈(0,1)

(5)

(6)

由式(6)，对t从0到T积分:

(7)

从而对任意t∈[0,T]，有:

对式(8)中的t从0到T积分:

(9)

因为g(t,x(x(t)))=g(t,x(t1))+g(t,x(x(t)))-g(t,x(t1))，所以：

在式(5)两边同时乘以x(t)，再将方程两边对t从0到T积分有：

+LdT·‖x‖0+|p|0T·‖x‖0

(12)

(13)

(14)

由式(7)和(14)，得:

(15)

这里M1>0。由式(8)和(15)，得:

(16)

这里M2>0。另一方面，因x(0)=x(T)，故存在t0∈[0,T]，使得x′(t0)=0。将式(5)两边从0到t积分，得:

即：

所以：

(17)

则xH(x,μ)=μx2+(1-μ)·x·g(x)>0，x∈KerL∩∂Ω，μ∈[0.1]。因此H(x,μ)是同伦映射，则deg(QN,Ω∩KerL,0)=deg(I,Ω∩KerL,0)≠0。于是由引理1，方程(3)至少存在一个周期解。

例1考虑方程：

x″(t)+f(x(t))x′(t)+g(t,x(x(t-sin4πt)))=3sin4πt

(18)

[1]Gaines R E, Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations[M]. Lecture Notes in Mathematics, 1977.

[2]秦元勋, 刘永清, 王联. 带有时滞的动力系统的运动稳定性[M]. 北京: 科学出版社, 1989:14-21.

[3]黄先开,向子贵. 具有时滞Duffing型方程x″+g(x(t-τ))=p(t)的2π周期解[J]. 科学通报，1994,39(3): 201-203.

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[9]陈月红. 类二阶具复杂偏差变元的微分方程周期解[J].华中师范大学学报(自然科学版)，2010, 44(2): 6-10.

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[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.06.001

O175.14;O177.91

A

1673-1409(2012)06-N001-04