舟过水无痕:《平行四边形的性质（一）》教学实录及点评

张琴琴，胡同祥

（乐山市实验学校，四川 乐山 614000）

数学知识的过程性教学主要应关注数学知识的生成过程，即数学知识的形成过程，要加强对它们的开发呈现，并试图让学生经历数学知识“生长”的全过程，怎样实现把数学知识“生长过程”教学化，使学生经历数学知识的形成过程，需要教师二次开发教材，设计数学知识的“生长过程”。

一、平行四边形的性质（一）

（一）学法与教法

学法：观察、猜想、验证、归纳、应用。

教法：观察猜想法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅。

（二）教学过程

1.课题引入

师：请同学们回忆一下，我们进入初中以后对平面几何的学习顺序是怎样的？

生A：初一的第一学期学习了点、线、角，第二学期学习了三角形。

师：这学期我们将进入第二种多边形——平行四边形的学习。请同学们再回忆一下，上学期我们在学习三角形的知识时，重点探究学习了哪种特殊三角形的性质和判定？

生（全体）：等腰三角形。

师：与上学期相类似，这学期我们学习四边形，也先学习一种特殊的四边形——平行四边形。所以我们今天的学习任务就是探究学习平行四边形的性质。

师：黑板板书：平行四边形的性质（一）

活动一：

师：在学习之前，请同学们想一想：平行四边形在日常生活中有哪些应用，你能举几个实例吗？

生B：学校门口的伸缩门。

师：很好，我们每天都在进出校门，伸缩门里蕴含着许多平行四边形。

生C：教室里的窗户是平行四边形。

师：窗户是同学们学认识过的什么图形？

生（全体）：长方形。

师：长方形在我们初中又可以称作为矩形，这是一种特殊的平行四边形，是我们今后要学习的内容。

生D：门和书。

师：门、书的表面都是平行四边形。

下面请同学们欣赏一组平行四边形在日常生活中的应用实例展播：（多媒体播放）

师：通过同学们的举例和图片的展播，让我们深刻地感受了平行四边形在我们日常生活中的应用是非常广泛的。因此我们这节课学习平行四边形的知识是不是一件非常有意义的事情呢？

生（全体）：是。

2.概念的形成和巩固

师：平行四边形对于同学们来说并不陌生，早在小学的时候我们就认识它了。那么，请同学们仔细观察图片，究竟什么样的四边形叫平行四边形呢？

生E：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

师：回答得非常好。

板书：1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

2.表示：▱ABCD，如图 1。

巩固练习：请从下列图形中找出平行四边形。

3.性质的探究与验证

活动二：

师：同学们能否根据定义画一个平行四边形？

师生动手：教师在黑板上画，学生在练习本上画。

师：请同学们看黑板图8：一个平行四边形有几条边？有几个内角？有几条对角线？

生（全体）：四条边，四个内角，两条对角线。

师：（动手连接两条对角线交于点O）

平行四边形的这些边、角、对角线究竟有些怎样的特殊性质呢？请同学们以学习小组为单位展开讨论。

活动三：

生：分小组热烈讨论。

（几分钟后讨论结束）

师：请小组代表发言。

生F:平行四边形对边相等，对角相等。

生G：平行四边形对角线平分内角。

生H：平行四边形对角线互相平分。

生I：平行四边形邻角互补。

师：你们能想出什么办法去验证这些猜想是否正确呢？

生（少数）：用度量的方法。

师：非常好，请大家马上行动起来。

生（全体）：用三角板、量角器进行度量。

师：你们度量的结果是怎样的？

生J：平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，但对角线不平分内角。

师：掌声送给这位同学，回答得非常棒。

一般平行四边形的对角线是不能平分对角的，只有一种特殊的平行四边形具有这条性质，那是我们后一步要学的内容。

刚才我们用度量的方法对大家的猜想进行了初步验证，下面，再请同学们思考:能不能用我们所学过的知识去证明你们的猜想？

生K：我们可以先判断平行四边形是不是中心对称图形，如果是中心对称图形就可以根据中心对称图形的性质证明我们的猜想。

师：非常好，那怎样判断平行四边形是否为中心对称图形呢？请问：什么是中心对称图形？

生（全体）：把一个图形绕自身的某一个点旋转180°后能与自身重合，这个图形就叫中心对称图形。

活动四：

师：出示自制教具（一张透明纸和一张硬纸板叠合，上下分别画了两个全等的彩色平行四边形重合在一起，对角线交点用一颗图钉穿过，透明纸可以自由旋转）

请一位同学上来旋转透明纸，同学们观察在旋转过程中两个平行四边形是否能再次重合，如果重合了，至少要旋转多少度？

生L：（上讲台旋转透明纸）至少旋转180°，两个平行四边形就能完全重合。

师：这就说明了平行四边形是中心对称图形，那么中心对称图形的性质是什么？

生M：对应边相等，对应角相等，对应点到对称中心的距离相等。

师：（手指教具）点A与点C是对应点，则点A到对称中心O的距离等于点C到点O的距离，即OA=OC,同理：OB=OD；AB的对应边是CD，则AB=CD，同理：AD=BC；∠BAD的对应角是∠BCD，则∠BAD=∠BCD，同理：∠ABC=∠ADC；从而再次证明了同学们对平行四边形性质的猜想是正确的。

下面，让我们一起来归纳一下平行四边形的性质。（如图9）

师板书，生口答。

边：对边平行（位置），对边相等（数量）。

角：对角相等。

对角线：互相平分。

对称性：中心对称图形。

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC

AB=CD，AD=BC

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO=CO，BO=DO

师：好，接下来试试同学们的身手吧。

4.性质的应用

多媒体展示，图10。

（小试身手）如图，在▱ABCD中，

已知：BC=8，周长等于 24，则 AD=_____，AB=____，

CD=______；

生：（口答）

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC=8，AB=DC

∵▱ABCD=24

∴AB+CD=24-16=8

∴AB=CD=4

例题探究：

例 1.图 11，在▱ABCD 中，AB=5，BC=8，BE 平分∠ABC交AD于E，求DE的长。

生：（口述分析）∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠EBC

∵在▱ABCD中：AD∥BC

∴∠AEB=∠EBC

∴∠ABE=∠AEB

∴AB=AE=5

又 ∵AD=8，

∴ED=AD-AE=3

师：请同学们马上动手在练习本上写出推理过程。

生（全体）动手写；师巡视学生做题情况。

师：请做练习本上一题，并通过展台展示，纠正表述过程中的错误。

（变式）：若一个平行四边形的一条内角平分线把一条边分成2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长。

师：请同学们独立思考后在练习本上画出草图，请一位同学在黑板上画。

生 1：（走上讲台画图，图 12）

师：有没有不同意见的？

生 2：（走上讲台画图，图 13）

师：哪位同学画的是正确的？

生：（全体）都正确。

师：（点评）非常好，同学们真棒。这道题考查的是一种非常重要的数学思想——分类讨论思想。一个平行四边形的一条内角平分线把一条边分成2cm和3cm的两条线段，并没有告诉我们究竟哪条是2cm、哪条是3cm，所以，分成的线段中，有可能第一条是2cm，也有可能第一条是3cm。

5.小结与回顾

回顾这节课，你有哪些收获？

（多媒体展示）

①知识：平行四边形的定义、性质。

②方法：证明直线平行、线段相等、角相等的新方法。

二、教学反思

《平行四边形的性质》(华东师大版)承接上一章的内容，课本的设计意图是利用图形平移和旋转的特征来得出平行四边形的性质。笔者在设计本节课时就遵循着这个原则，先让学生看图片，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，再由学生动手画出一个平行四边形，然后观察猜想出其性质。考虑到对角线互相平分这一性质在得出平行四边形是中心对称图形后即可推导出，所以我对教材进行了整合，把下一节的内容提前讲了，并在课堂上加上相应的练习。因为本章课标明确要求学生能够严格说理过程，所以笔者在得出平行四边形性质的同时加上几何语言的描述，在练习中也注意规范学生的说理过程。

上完课后，笔者总体感觉还可以，主线清晰，重点突出，基本达到了预期效果，课堂气氛较活跃，使学生的参与意识与自我表现力增强。在探究平行四边形性质和推导性质的过程中，学生通过动手操作和自制教具、多媒体课件的演示，就能很容易发现平行四边形的性质。在猜想平行四边形的性质时，对于学生给出的错误猜想——对角线平分内角，笔者没有立刻给与评判，而是让学生通过自己来动手度量后自己否定这个结论。这种做法发既鼓励了学生勇于大胆猜想的精神，又培养了学生发现问题和解决问题的能力。例题能够引导学体会数学中的两种重要思想，即整体思想和分类讨论思想。能根据学生的具体情况在练习的过程中及时发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，反馈工作做得较到位。对于例1的讲解，笔者通过先让学生分析，再让他们自己写推理过程的方式，从中发现了不少学生容易出错的地方，部分学生在说思路的时候跳跃性太大，写证明过程的时候有缺失条件的情况，比如没有交代平行四边形的前提就直接得出对边平行、对边相等的结论，是部分学生的共同毛病，通过老师和同学的点评便得以纠正。对于例1的变式问题，则让学生独立思考，画出草图，训练了学生的灵活思维和基本的几何作图能力，同时也让学生感受了“分类讨论”的重要数学思想。

教学中的不足之处：一是在引导学生猜想验证性质的时候，教师可以通过使用几何画板现场演示准确度量边、角、对角线是否相等的过程。因为学生作图和度量必定会存在一些误差，由于作图的不标准和度量的不准确可能会导至学生得出错误结论。而几何画板是可以标准作图，准确度量线段长度和角度的，同时也能培养学生严谨的、科学的探究精神。二是由于担心时间不够、完不成教学任务，所以给学生讨论和独立思考问题的时间有点短，显得有点走过场，这些都是在教学中应注意的问题。当然，本节课还有许多值得总结和回味，同时需要解决的教学细节。

三、教后点评

（一）总评

本课题的教学，学生通过观察生活中的实例认识了平行四边形。学生通过参与数学活动进一步感悟到探索方法在探索概念的形成过程和性质的发现过程的作用，学生在探索的过程中获得了成功的体验，提高了学生的兴趣，增强学生间合作意识，培养了学生创新精神。为了达到这个目标，本课时让学生置身于知识的发生、发展、形成的过程之中，让学生在观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动的过程中感悟平行四边形的性质，理解平行四边形的性质，课堂教学体现了重视以问题解决为中心的自主、合作、探究学习方式。

从初中数学有效教学的宏观评价来看，本节课三维目标设定合理，所选教学内容适切，课堂教学环境和谐，教学过程细致严谨，学习方式和手段多元，学习效果显著。所以，本节课从学生体现的显性效果，还是从学生的长远发展的隐性效果来看，都值得在初中数学有效教学研究过程中学习和借鉴。

（二）详细评析

1.设置动手操作活动，培养学生的探索能力

平行四边形的性质，学生在小学就有初步了解，若单纯地让教师引导学生回忆，让学生记住结论，然后再利用这些结论进行解题，这会禁锢学生的思维，就是我们常常提到的把学生“教死”了。执教者应从生活中的平行四边形入手，让学生初步认识平行四边形，从感性认识逐步上升到理性认识；教者在引导学生探讨性质时设计了让学生动手操作、合作探讨的情境，同时利用了平行四边形的模型教具从旋转的角度来加以验证，积累了数学活动经验。该课堂教学方法的设计，不仅调动了学生的积极性，而且引导学生从理性的角度进行观察发现，进行推理结证，学生自然地进入数学知识“生长过程”的场景中，教者已经潜移默化地将研究问题的方法“教授”给学生，无形之中培养了学生的探索能力。

2.注重数学三语言的结合，规范了数学表达

数学语言是教学知识、思想、方法的载体，数学思维借助数学语言进行，依靠数学语言显示。因此，掌握数学语言是学习数学知识的基础，数学语言是数学教学的关键，同时掌握数学语言之间的转化是解决问题的重中之重。因此，将文字语言、符号语言、图形语言进行结合教学，让学生会用数学语言，习惯地用数学语言来表达、解释数学。在整个认识平行四边形和探索其性质中，教者仅仅结合图形进行标记，同时在图形旁边用几何语言（符号语言）进行旁批，同时引导学生用文学语言叙述，但最终归结到了符号语言上，这样潜移默化地进行结合性训练为学生学习其他特殊几何图形的性质打下了基础。

3.开发知识“生长过程”，实现过程结果并重

在数学教学中，既重视结果，又重视过程，这已经是新课程改革中形成的共识。从某种角度来讲，过程比结果更重要，这节课重点放在平行四边形性质这个结果产生的过程上，通过师生共同画图，小组合作，师生共同小结出结论，利用平行四边形是中心对称图形加以说明，这些设计环节无疑为学生主动探索性质的来龙去脉提供了平台，为性质的“生长过程”创造了条件，让学生真实地经历这些“生长过程”，甚至做到了结果与过程并重。

4.丰富问题形式，促进学科思维拓展

这节课的课堂教学中，对于平行四边形性质的应用多样，主要围绕边、角、对角线的性质进行多维度训练，并在引领，拓展原型与变式题进行无缝结合，让学生的思维顺势，感受变式训练中“根本”不变，在训练之后进行思想与方法的提炼和总结，这是解题教学的升华，一些好的研究方法和思维拓展得到了激活。

[1]孙红强.杨辉.好一个“一点锁定180”[J].中国数学教育（初中版），2009（9）.