十年考研数学之常微分方程试题分析

张少华

（遵义师范学院数学与计算科学学院，贵州遵义563002）

作者对近十年（2003～2012年）全国研究生入学考试数学一、数学二、数学三试题中的常微分方程试题[1]进行了分析，以期对教师教学[2]和学生复习迎考有所助益。

一、十年考研数学常微分方程试题总体情况分析

十年考题总个数为37个，总分值为247分。填空题及选择题，每题4分。各类题目的个数和分值见表1，各类试题个数及分值比较，见图1、图2（数学一、数学二、数学三中相同的题目，算作一个题（下同）；解答题的分值为本大题分值，包括相关知识，没有细分）。

表1 十年各类试题总体情况

图1 各类试题个数柱型图

图2 各类试题总分值柱型图

二、题型分析

题型1求一阶线性微分方程的通解或特解（详见表2）。共有13个题，涉及分值58分。

表2 十年一阶线性方程试题情况

题型2求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解（详见表3）。共有10个题，涉及分值74分。

表3 十年二阶线性方程试题情况

题型3求三阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解。2010年，数学二，二（9），共1题，分值4分。

题型4已知二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解，反求微分方程。2006年，数学二，二（10）。共1题，分值4分。

题型5二阶可降阶微分方程的求解。2007年，数学二，三（19）。共1题，分值10分。

题型6已知三阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解，反求微分方程。2008年，数学一，一（3）。共1题，分值4分。

题型7求欧拉方程的通解或特解。2004年，数学一，一（4）。共1题，分值4分。

题型8常微分方程的应用。由已知条件，建立微分方程，然后求解函数表达式或曲线方程（详见表4）。共9个题，涉及分值89分。

表4 十年常微分方程应用题情况

三、对几个典型考题的评析

典型题1（2003年数学三，第七题）

设F（x）=f（x）g（x），其中函数f（x），g（x）在（-∞，+∞）内满足以下条件：f′（x）=g（x），g′（x）=f（x），且f（0）=0，f（x）+g（x）=2ex，（1）求 F（x）所满足的一阶微分方程；（2）求出 F（x）的表达式。

分析：F（x）所满足的一阶微分方程，必含有F′（x）。这就暗示先要求出F′（x）。因此应先对F（x）=f（x）g（x）求导，再利用f（x），g（x）满足的条件进行转化，即可得F（x）满足的一阶微分方程F′（x）+2F（x）=4e2x。

这是常系数的一阶非齐线性微分方程，可用公式法、常数变易法、特征根法进行求解。注意初始条件。

此题没有直接给出微分方程，须先通过对F（x）求导，利用所给条件进行恒等变形，从而推导出微分方程。此题比较新颖。然而，一旦得到微分方程，便有“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”之感，就能顺利求解了。

典型题2（2010年数学二，三（17）题）设函数y=f（x）由参数方程

求函数 ψ（t）。

求解方程（3），方法一，是进行降阶。令ψ′（t）=p，则可得

从而得解。

方法二，是直接将方程（3）化为

连续施行两次积分，代入初值条件，即可得解。

方法三，是用二阶微分方程的常数变易法来求解。方程（3）所对应的齐次方程为

连续两次积分得

ψ（t）＝A（t＋1）2＋B，（A，B 为任意常数）

易知方程（4）有基本解组 1，（t＋1）2。

因此，将方程（3）化为

设ψ（t）＝C1（t）＋C2（t）（t＋1）2，代入方程（5），利用二阶微分方程的常数变易法，可求出C1（t）、C2（t），从而可得ψ（t）的通解，代入初值条件，即可得解。

此题用参数求导法推出ψ（t）的二阶微分方程后，有多种解法，考生可根据自己的情况灵活选择。此题有一定的难度。对于选拔性考试来说，可以拉开考生的差距。因此，此题是一个较好的考研试题。

典型题3（2012年数学三，三（19）题）若函数f（x）满足方程

分析：方法一，易知方程（6）是常系数二阶齐线性微分方程，其特征方程为 λ2＋λ－2＝0，

因此，可求出方程（6）的通解

现在考虑方程（7），式（8）应满足方程（7），将式（8）代入（7），比较系数，可求出C1，C2，从而可得f（x）的表达式f（x）＝ex。

方法二，易知方程（7）是常系数一阶非齐线性微分方程，可解得其通解为

将（9）式代入（6）式，可求出C＝0，从而得到f（x）的表达式。

方法三，观察方程（6）、（7）的特点，将方程（7）两边对x求导数得

用（10）式减去（6），立即可得f（x）的表达式。这种方法最佳，省时省力。

因而找到了问题2）的密钥。利用此密钥，将问题2）转化，问题2）迎刃而解。

此题步步递进，连环相扣，有多种途径，设局甚佳。到了第一个目的地，就知道下一步怎么走。到了第二个目的地，就可遥望最终目标。这样，在前进的道路上，一直使人信心满满，勇往直前，盼着摘取红彤彤的硕果。此题是一个好的考研试题。

四、几点建议

（1）考研试题中的常微分方程试题，多为基础知识题。重点之一是求一阶线性微分方程的通解或特解，涉及的有关题目有13个，分值约为58分，占十年常微分方程试题总分值的23．48%。重点之二是求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解，涉及的有关题目有10个，分值约为74分，占十年常微分方程试题总分值的30%。此二项分值之和为132分，占十年常微分方程试题总分值的53．44%。若再加上综合题的分值，这个比例就更高了。因此，考生复习时，须牢固掌握基础知识，特别是一阶线性微分方程、二阶线性微分方程。

（2）考研试题中的题型，大多为常见题型。因此，复习时，只要能够打牢基础，就能够应对各种题型的变化。

（3）对于常微分方程的应用题，需要综合应用相关知识，如物理的、几何形体方面的、经济方面的相关知识，才能求解试题。此外，就是一些数学知识与常微分方程的综合应用。对于应用题这种题型，部分考生感觉有难度。因此，要针对有关知识点进行有目的的教学，再加以适当的练习或模拟考试，使学生掌握解决这类问题的方法，就能攻克这一难关。

（4）常微分方程有关理论知识，也是考生所考相关专业的基础理论课。若能在本科学习阶段打下坚实的基础，对于将来学习或进行科研工作，都是大有帮助的。

[1]中国教育在线．全国硕士研究生入学统一考试历年真题集锦——考研数学真题[M]．http：／zhenti．kaoyan．eol．cn／，2012－03－05．

[2]张少华，王思聪．《常微分方程》教学中探究式教学法初探[J]．遵义师范学院学报，2007，9（6）：72－74．