一维电子气在谐振势中的两粒子精确解

朱伶俊，祁 飞

(浙江师范大学 物理与信息工程学院，浙江 金华 321004)

一维电子气在谐振势中的两粒子精确解

朱伶俊，祁 飞

(浙江师范大学 物理与信息工程学院，浙江 金华 321004)

利用分离变量法，对在谐振势中一维电子气的两粒子问题进行了研究。研究表明:随着电子－电子相互作用强度的增大，两粒子的密度分布由单峰结构逐步被劈裂成双峰结构，而两粒子的能级差却随着相互作用强度的增大而减小，直至为零。

一维电子气;谐振势;密度分布

0 引言

近几年来，随着纳米技术的发展，在实验上我们已经能成功制备出纯净的一维量子气，例如:一维半导体量子线，单阱碳纳米管结构和束缚在细长外势中的超冷原子等［1－4］。我们已经知道一维电子气模型与理想的费米液体不同，它不能用传统的朗道(Landau)理论或者低能Luttinger液体来描述［5］，因为在一维结构的物理特性中电子－电子相互作用起了关键作用。虽然研究电子气系统特性的方法越来越精确(自由相位近似、密度泛含理论、蒙特卡罗等)，但到目前为止还没有真正意义上的一维电子气基态特性的精确解。一般情况下，为了求解多粒子非均匀体系问题，我们需要知道少粒子均匀体系的精确解本征态。

在量子力学中，精确可解的模型非常的少，但谐振势是一个比较特殊的例子。谐振势中的单粒子问题可以得到解析解［6］。而精确求解电子气中两粒子问题一直是欠缺的，本文主要研究处在谐振势中一维电子气两粒子的精确解问题。并且我们已经知道研究两粒子精确解问题可以为一维多体系统何其它理论提供佐证，并且可以和实验发现做最直接的比较。

在本文中，首先我们给出了一维电子气的模型结构［7］，接着利用分离变量法处理了这个模型，并且研究了在相对坐标下的外势结构和密度分布，最后，我们给出了在谐振势中一维电子气两粒子的密度分布和基态能特性。

1 模型与方法

谐振势中一维电子气两粒子模型的哈密顿量可以写成:

利用分离变量法可以知道，质心坐标:Z=z1－z2，P=p1+p2;相对坐标:zrel=z1－z2，p=(p1－p2)/2，变化后的哈密顿量可以写成:

其中，M=2m，μ=m/2。

质心坐标的哈密顿量(3)式就是线性谐振子，它的波函数可以写成［5］:φCM～exp(－Z2/a2)，所以，总的基态波函数可以写成:

因此，现在我们只需要计算相对坐标下的基态波函数φrel(zrel)，其中，我们可以利用单粒子薛定谔方程来求解这个本征态波函数:

将方程(6)无量纲化，选用L/2为长度单位，2h2/(mL2)为能量单位，无维度的薛定谔方程可以写成:

其中V(zrel)称为有效势，它可以写成:

2 结果与讨论

首先我们讨论了有效势的情况，有上面的公式可知，不同L，b决定了有效势的形状大小，这里我们分别给出了在b=0.1aB时，不同L情况下的有效势(图1)

图1 在b=0.1aB时，不同L的有效势

图2 在b=0.1aB时，不同相互作用对应的相对坐标基态密度分布

根据方程(7)，我们可以数值求解得到基态波函数φrel(zrel)，因此，我们可以得到相对坐标下的单粒子的基态密度分布(图2)及其能级分布(图3)。

图3 不同相互作用强度作用下的能级分布

由上图可知，当相互作用为0时(L=0)，系统中的电子－电子相互作用为0，与一维谐振子能级分布相同，可以写成:En=hω(n+1/2)，n=0，1，2，…。随着相互作用强度的增加，密度分布由单个峰被劈裂成双峰，当相互作用比较大时被完全劈裂成两个独立的峰(见图2)。此时，两个能级之间的能级差随着相互作用强度的增加而逐步减小(见图3)，由计算得出，当L=4aB时，ΔE=0.00098。我们有理由可以相信，当L→∞时，ΔE→0，此时可以将这个两体系统看成两个完全相互独立粒子，那么它们的能量应该完全相同的。

现在我们已经知道相对坐标下的波函数，结合公式(5)，我们可以得出两粒子总的波函数ψGS(z1，z2)。两粒子总的基态密度分布可以由以下公式得出:

因此，我们可以精确的得到一维电子气中在谐振势中两粒子的密度分布(图4)。

图4 在b=0.1aB时，不同相互作用对应的一维电子气在谐振势中两粒子基态密度分布

3 结论

本文利用分离变量法研究了一维电子气在谐振势中两粒子问题。研究结果表明:随着电子－电子相互作用强度的增大，两粒子的密度分布由单峰结构逐步被劈裂成完全的双峰结构，而两粒子的能级差却随着相互作用强度的增大而减小，并且可以得出，当L→∞时，ΔE→0。

［1］H.Temkin，G.J.Dolan，M.B.Panish，andS.N.G.ChuLow-temperature photoluminescence from InGaAs/InP quantum wires and boxes［J］.Appl.Phys.Lett.，1987，50(413):5977 －5982.

［2］B.Paredes et al.Tonks-Girardeau gas of ultracold atoms in an optical lattice［J］.Nature，2004，429(277):1290 －1295.

［3］O.M.Auslaender et al.Spin-Change Separation and Localization in One Dimension［J］.Science，2005，308(88):9561 －9566.

［4］H.Moritz et al.Confinement Induced Molecules in a 1D Fermi Gas［J］.Phys.Rev.Lett.，2005(94):10401 －10404.

［5］T.Giamarchi，Quantum Physics in One Dimension［M］.(Oxford University Press，2004).

［6］曾谨言.量子力学(卷Ⅰ)［M］.4版.北京:科学出版社，2007.

［7］M.Casula et al.Ground state properties of the one-dimension Coulomb gas using the lattice reguarized diffusion Monte Carlo method［J］.Phys.Rev.B.，2006(74):4542 －4546.

Exact Solution to Two-particle of One-dimensional Electron Gas in Harmonic Trap

ZHU Ling-jun，QI Fei

(College of Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China)

By using the method of separation of variables，this paper discusses two-particle of one-dimensional electron gas in harmonic trap，showing that，with the increase of electron-electron interaction strength，the density profile of two-particle changes from single peak structure to double peak structure step by step，while the energy difference decreases，until to zero.

one-dimensional electron gas;harmonic trap;density profile

TB383

A

1009－3907(2012)04－0429－03

2012-02-13

朱伶俊(1987-)，男，浙江武义人，硕士研究生，主要从事冷原子物理方面的研究;

祁飞(1985-)，男，新疆奎屯人，硕士，主要从事凝聚态物理的研究。

责任编辑:程艳艳