Banach空间中k-渐近拟伪压缩映像不动点的迭代算法

陈东青，何斌，刘立红

(军械工程学院 基础部，河北 石家庄 050003)

研究报告

Banach空间中k-渐近拟伪压缩映像不动点的迭代算法

陈东青，何斌，刘立红

(军械工程学院 基础部，河北 石家庄 050003)

在严格拟伪压缩映像不动点的迭代算法基础上，给出了Banach空间中渐近k-拟伪压缩映像不动点的迭代算法，改进了算法，并证明了一个强收敛定理，扩展了已知的相关结果.

Banach空间；渐近k-拟伪压缩映像；广义投影算法；不动点

2010年，周海云和高兴慧[1]给出了Banach空间中严格拟伪压缩映像T不动点的迭代算法：

(1)

并且证明了下面的强收敛定理.

定理1 设X是自反的严格凸并且光滑的Banach空间，空间X及其对偶空间X*都具有性质(K)，C是X的非空闭凸子集.T：C→C为严格拟伪压缩映像.{xn}由迭代格式(1)生成，其中k∈[0,1)，则序列{xn}强收敛到某一点p0=ΠF(T)(x0).

在文献[1]的基础上，引进K-渐近拟伪压缩算子，并修正了迭代算法，证明了在自反的、严格凸、光滑的Banach空间中， 渐近拟伪压缩映像不动点迭代算法的强收敛定理.

1 预备知识

J(x)={j∈X*:〈x,j〉=‖x‖2=‖j‖2},∀x∈X.

(2)

注1[2]在自反的、光滑的Banach空间X中，J:X→2X*映像为单值的、次连续的满值映像.

定义1[3]设X是实光滑的Banach空间，C是X的非空闭凸子集.定义泛函

ø(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,x,y∈X.

根据ø的定义，可以得到以下结论：

1)(‖x‖-‖y‖)2≤ø(x,y)≤(‖x‖+‖y‖)2；

(3)

2)ø(x,y)=ø(x,z)+ø(z,y)+2〈x-z,Jz-Jy〉.

(4)

定义2[1]设X是实自反、光滑、严格凸的Banach空间，C是X中的一个非空闭凸子集，广义投影算子ΠC:x→C定义为：ΠC(x)={x0∈C:ø(x0,x)=min(z,x),z∈C}.

当X=H为Hilbert空间时，ΠC=PC为H到C的距离投影算子.

注2 对于∀x∈X，存在唯一的x0∈C，满足ø(x0,x)=min{ø(z,x),z∈C}.

注3 若X是自反的严格凸且光滑的Banach空间，对于∀x,y∈X，ø(x,y)=0当且仅当x=y，并由此可得，〈x,Jy〉=‖x‖2=‖y‖2.

ø(p,Tnx)≤knø(p,x)+kø(x,Tnx).

(5)

当k=0时，T为渐近拟非扩张映像.

注4 关于性质(K)的更多内容，可详见参考文献[6].

引理1[7]设X是自反的严格凸且光滑的Banach空间，C是X中的非空闭凸子集，∀x∈X，满足 ø(y,ΠCx)+ø(ΠCx,x)≤ø(y,x),y∈C.

引理2[7]设X是自反的严格凸且光滑的Banach空间，C是X中的非空闭凸子集，x0∈C，x∈X,x0=ΠC(x)当且仅当〈x0-y,Jx-Jx0〉≥0,y∈C.

2 主要结果

定理2 设X是自反的严格凸且光滑的Banach空间，并且空间X和X*满足性质(K)，C是X中的非空闭凸子集，T：C→C为闭的渐近k-拟伪压缩映像,假设F(T)是有界的，且F(T)≠Φ，构造下列迭代算法：

(6)

分7步完成定理的证明.

第1步：F是闭凸的.

首先，设序列{pn}⊂F(T)，且pn→p(n→∞)，由于T是k-渐近拟伪压缩映像，故ø(pn,Tnp)≤knø(pn,p)+kø(p,Tnp).

再由式(4)得

ø(pn,p)+ø(p,Tnp)+2〈pn-p,Jp-JTnp〉≤knø(pn,p)+kø(p,Tnp).

化简可得

其次，∀p1,p2∈F(T)，t∈(0,1).令pt=tp1+(1-t)p2，从而

ø(p1,Tnpt)≤knø(p1,pt)+kø(pt,Tnpt)，

以及

ø(p2,Tnpt)≤knø(p2,pt)+kø(pt,Tnpt).

再由式(5)，可得

(7)

(8)

式(7)两边同时乘以t，式(8)两边同时乘以(1-t)，再相加可得

从而ø(pt,Tnpt)→0(n→∞)，即Tnpt→pt(n→∞)，亦即Tn+1pt→pt(n→∞)，再由T的闭性得Tpt=pt，故F(T)是凸的.综上所述，F(T)是闭凸的.

第2步：∀n≥1，Cn是闭凸的.

事实上当n=1时，Cn=C，即C1是闭凸的.假设Cn-1是闭凸的，需要证明Cn是闭凸的.

注意到Cn是Cn-1与一个闭凸集的交，故Cn是闭凸的.

根据归纳法可知，Cn是闭凸的(重复).

第3步：F⊂Cn.

显然F⊂C=C1，假设F⊂Cn,下证F⊂Cn+1.对于∀p′∈F，p′∈Cn.再由T是k-渐近拟伪压缩映像，从而

ø(p′,Tnxn)≤knø(p′,xn)+kø(xn,Tnxn).

(9)

再结合式(4)可得

于是p′∈Cn+1，即F⊂Cn+1，根据数学归纳法可得F⊂Cn，因而ΠCn(x0)有意义，从而序列{xn}可由式(6)生成.

由xn=ΠCn(x0)可得〈xn-z,Jx0-JXn〉≥0，∀z∈Cn,∀n≥1.并且F⊂Cn，∀p∈F，有〈xn-p,Jx0-Jxn〉≥0,∀z∈Cn.再由引理1，得

ø(xn,x0)=ø(ΠCnx0,x0)≤ø(p,x0)-ø(p,xn)≤ø(p,x0),

(10)

故ø(xn,x0)是有界的.

另一方面，xn=ΠCn(x0)，xn+1=ΠCn+1(x0)∈Cn，Cn+1⊂Cn，可知ø(xn,x0)≤ø(xn+1,x0).

(11)

第5步：xn→p0(n→∞).

由Cn的构造可知，xn+1=ΠCn+1(x0)∈Cn+1⊂Cn，据引理1得

ø(xn+1,xn)≤ø(xn+1,ΠCn+1x0)≤ø(xn+1,x0)-ø(ΠCnx0,x0)=ø(xn+1,x0)-ø(xn,x0).

故ø(xn,x0)→ø(p0,x0)(n→∞)，于是‖xn‖→‖p0‖.由空间X满足性质(K)，知xn→p0(n→∞) .

第6步：p0=Tp0.

整理得

(12)

由第4步可知序列{xn}是有界的，从而由式(12)可得{‖Tnxn‖}也是有界的.

由xn+1∈Cn+1，可得

(13)

由第5步可知ø(xn+1,xn)→0，对式(13)两边同时取极限可得

ø(xn,Tnxn)→0(n→∞).

(14)

注意到0≤(‖xn‖-‖Tnxn‖)2≤ø(xn,Tnxn).因此‖Tnxn‖→‖p0‖，并且‖J(Tnxn)‖→‖Jp0‖，故{J(Tnxn)}是有界的.由于X是自反的，故X*也是自反的.因此，可以假设

另一方面，由于X是自反的，从而J(X)=X*，即对于f0∈X*，∃x∈X，使得Jx=f0.

于是ø(xn,Tnxn)=‖xn‖2-2〈xn,JTnxn〉+‖Tnxn‖)2=‖xn‖)2-2〈xn,JTnxn〉+‖JTnxn‖2.等号两边同时取下极限，有0≥‖p0‖2-2〈p0,f0〉+‖f0‖2=‖p0‖2-2〈p0,Jx〉+‖Jx‖2=ø(p0,x)≥0.

故ø(p0,x)=0，从而p0=x，即f0=Jp0.因此

(15)

又由‖J(Tnxn)‖→‖Jp0‖，由X*具有性质(K)知‖J(Tnxn)-Jp0‖→0.

注意到J-1:X*→X是次连续的，于是有

(16)

又由‖Tnxn‖→‖p0‖，并且空间X满足性质(K)，可得Tnxn→p0(n→∞).因为xn→p0，并且T是闭的，故有p0=Tp0.

(17)

第7步：p0=ΠF(T)(x0).

从第5步和第6步可知，ø(p0,x0)≤ø(ΠFx0,x0)≤ø(p0,x0)，从而

ø(ΠF(T)x0,x0)=ø(p0,x0).

(18)

因此ΠF(T)x0=p0，于是由式(6)生成的序列{xn}强收敛到p0=ΠF(T)(x0).

定理得证.

[1] ZHOU Haiyun,GAO Xinghui.An iterative method of fixed points for closed and quasi-strict pseudo-contraction in Banach spaces [J].J Appl Math Comput, 2010, 33:227-237.

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(责任编辑：王兰英)

Iterationmethodforfixedpointsofasymptoticallyquasipseudo-contractionmappinginBanachspaces

CHENDong-qing,HEBin，LIULi-hong

(Department of Basic Courses, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

Based on the iteration method for fixed points of quasi-strict psedo-contraction mapping, an iteration algorithm for fixed points ofk-asymptotically quasi pseudo-contraction mapping in Banach spaces is proposed, then a strong convergence theorem is proved by using the modified algorithm. The known related results are extended.

Banach spaces;k-asymptotically quasi pseudo-contraction mapping; generalized hybrid projection; fixed point

O177.91

A

1000-1565(2012)02-0113-05

2011-09-10

国家自然科学基金资助项目(11071053)；军械工程学院基金项目(YJJXM11003)

陈东青(1962-)，男，辽宁锦县人，军械工程学院副教授，主要从事非线性泛函分析研究.

E-mail：liulihong2003@sohu.com

MSC201047H05;47H10;47H17