三维悬链线井眼轨迹模型的数值计算

王作启

（中国石油辽河油田公司兴隆台采油厂，辽宁盘锦 124010）

三维悬链线井眼轨迹模型的数值计算

王作启

（中国石油辽河油田公司兴隆台采油厂，辽宁盘锦 124010）

在三维悬链线轨道设计问题的非线性方程组的数值求解算法中，悬链线井段的坐标增量是使用数值积分法来计算的，由于数值积分嵌套在迭代算法中，数值积分的计算成为影响设计方程组求解效率的主要因素。通过一些数学技巧推导出了垂深增量和水平投影长度增量的解析计算公式，从而在设计方程组的迭代算法中不必再使用数值积分法来计算垂深和水平投影长度增量。使用积分变量替换将北、东坐标增量的积分计算式简化成了另一种等价形式，使用这种新形式来计算数值积分，可以比原来的数值积分法节省三分之一的三角函数运算次数，从而显著提高整个设计方程组迭代算法的计算效率。

井眼轨道；大位移井；悬链线井身；数值积分

在大位移井的井眼轨道设计中，为了尽量减小钻柱的摩阻、改善钻柱的受力情况，在20世纪80年代出现了悬链线井身剖面［1］，并在大位移井的钻井实践中显示出了其优越性。刘修善在二维悬链线设计方法的基础［2］上提出了三维悬链线轨道设计的新方法［3］，这种三维悬链线轨道设计新方法为悬链线在井眼轨道设计中的应用开辟了一个新的研究领域。在刘修善给出的新方法中，提出了悬链线井段的井斜角和方位角随井深变化的计算公式，以及定积分形式的井段坐标增量公式。由于井斜角公式比较复杂，刘修善指出“需要使用数值积分法来计算悬链线轨道的坐标增量”［3］。

通过较为细致的数学分析，发现垂深坐标增量和水平投影长度增量的定积分是可以求出原函数的，从而可以解析计算。而通过一些积分变量的变换，计算东、北坐标增量的数值积分法可以简化成使用较少次数三角函数运算的另一种形式的数值积分公式。这些改进措施，可以显著地提高三维悬链线轨道设计方程组的迭代求解的计算速度。

约定：除非特别说明，本文公式中具有长度量纲的参数其单位为m，角度的单位为rad，井眼曲率、方位角变化率、井斜角变化率等参数的单位为rad／m。

1 悬链线井眼轨迹模型

井斜角方程如下［3］：

式中，α——悬链线井段上任意点处的井斜角；αb——井段开始点处的井斜角；ΔL——任意点的井深长度增量（从井段开始点算起）；a——悬链线的特征参数，m。

方位角方程如下［3］：

式中，φ——悬链线井段上任意点处的方位角；φb——井段开始点处的方位角；Kφ——井段上的方位角变化率。

井段坐标增量计算公式如下［3］：

式中，ΔN——北坐标增量，ΔE——东坐标增量，ΔH——垂深增量，ΔS——水平投影长度增量，Lb——井段开始点处的井深。

在文献［3］中，使用数值积分法来计算坐标增量（3）～（6）；由于数值积分法本身也是一种近似计算法，而且在设计方程组的迭代求解中需要反复计算数值积分，数值积分的计算对设计方程组的求解效率也有较大的影响。

2 垂深增量的解析公式

式（10）就是垂深增量的解析计算公式，比起使用数值积分法来，式（10）不仅计算简捷快速，而且（在理论上）是无误差的。

3 水平投影长度的解析公式

式（12）就是水平投影长度增量的解析计算公式。

4 北、东坐标增量的计算

经过这样的积分变元变换之后，式（3）可以改写为：

因此，北、东坐标增量的计算归结为两个积分函数c（x）和s（x）的计算。

5 数值积分的改进计算

在计算机的数值计算中，某个运算所耗计算时间是按照以下顺序从小到大排序的：加减运算、乘除运算、多项式运算、三角函数运算。因为在C＋＋等高级编程语言的数学库中，三角函数一般是使用幂级数展开形式来进行计算的，所以三角函数的计算远比其他三种计算更耗机时。因此，在高效科学计算中，通常原则是尽量减少算法中的三角函数运算的次数［4－7］。

对于数值积分 的计算，可以使用著名的Simpson数值积分公式［8］：

可见在（26）中共需要计算n次三角函数。为使计算结果具有较高的精度，通常需要使用较小的步长h，或者较大的等分区间数n。

类似地，数值积分s（x）的计算也需要计算n次三角函数。因此，ΔN和ΔE的计算（使用式（21）～（24））一共需要计算2n＋2次三角函数。

而同样使用Simpson积分公式但利用式（3）～（4）来计算ΔN和ΔE的话，需要3n次三角函数的计算。由于一般n比较大，故有：

因此，使用本文计算公式来计算北、东坐标增量比使用文献［3］的原始公式节省约三分之一的计算工作量。

6 数值算例

使用文献［3］中的数据来验证本文公式的正确性。悬链线特征参数a＝3 449.22 m，悬链线井段的井深、井斜角和方位角的数据见表1。

表1 悬链线轨道的设计数据

在文献［3］中，悬链线特征参数a和表1中的数据都是计算结果，实际数据应该是双精度实数（小数点后有16位有效数字），但这里都只取小数点后2位有效数字。使用本文提出的解析计算公式和改进的数值积分计算公式来计算每个井段的坐标增量，计算结果见表2。

表2 坐标增量计算结果

与文献［3］的表1数据进行对比，可以发现两种计算方法所得到的结果仅在小数点后第2位上有些差别，而这种差别可以认为是由于本文使用的原始数据的精度比文献［3］的数据精度低所造成的。上述计算结果的对比验证了本文新公式的正确性。

7 特殊情况时的增量公式

前面讨论了一般情况下的坐标增量的计算公式。当井段的方位角保持不变时，计算公式更加简单。

当在计算井段上φ≡φb时，从式（3）～（6）得：

式中ΔS由式（12）来解析计算。

8 结论

（1）推导出了三维悬链线井段的垂深增量和水平投影长度增量的解析计算公式。

（2）推导出了三维悬链线井段的北坐标增量和东坐标增量的另一种形式的积分公式，在进行数值积分计算时，这种新形式的积分公式的计算工作量比原有形式的计算工作量减少约三分之一。

（3）使用本文提出的新的坐标增量计算方法可以显著提高三维悬链线轨道设计方程组的迭代求解时间。

［1］ 韩志勇.定向钻井设计与计算［M］.北京：中国石油大学出版社，2007：160－164.

［2］ 刘修善.悬链线轨道设计方法研究［J］.天然气工业，2007，27（7）：73－75.

［3］ 刘修善.三维悬链线轨道的设计方法［J］.石油钻采工艺，2010，32（6）：7－10.

［4］ 《数学手册》编写组.数学手册［M］.北京：人民教育出版社，1979：265，38.

［5］ 鲁港，余雷，杨文举.大位移井抛物线剖面设计的数值计算［J］.石油地质与工程，2009，23（5）：81－83.

［6］ 卢毓周，窦同伟，鲁港.自然曲线型三维井眼轨道设计的数值算法［J］.石油地质与工程，2009，23（1）：101－104.

［7］ 鲁港，鲍继红.自然曲线法测斜计算中的数值方法［J］.石油地质与工程，2008，22（1）：72－74.

［8］ 施吉林，刘淑珍，陈桂芝.计算机数值方法［M］.北京：高等教育出版社，1999.

In the 3D catenary borehole trajectory design of nonlinear equations numerical algorithm，the coordinates increment of catenary section is calculated by numerical integral.As the numerical integral is nested in the iteration algorithm，the calculation of numerical integral method is the main factor influencing the design equation.Through some math skills，the increment of vertical depth and length increment of horizontal projection have been derived，thus in the design of the equations of iterative algorithm，the numerical integral method can not be taken to calculate vertical and horizontal length increment deep projection.By using integration variable displacement，the integral formula of northern and eastern coordinates is simplified to another equivalent form.With this new kind of numerical calculation，one third of the triangle function number operations can be saved compared with the original save.Thus the iterative algorithm computation efficiency of the whole design equations is obviously improved.

94Numerical calculation of 3Dcatenary borehole trajectory model

Wang Zuoqi（Xinglongtai Oil Production Plant of Liaohe Oilfield Company，PetroChina，Panjin，Liaoning 124010）

borehole trajectory；extended－reach well；catenary section；numerical integration

TE22

A

1673－8217（2012）03－0094－03

2011－11－28

王作启，1963年生，1985年毕业于辽河石油学校，现从事井下作业、钻井等技术工作。

李金华