基于WCVaR风险度量的发电商电量分配模型

周 娟， 江 辉， 李 鹏

(湖南大学电气与信息工程学院， 长沙 410082)

基于WCVaR风险度量的发电商电量分配模型

周 娟， 江 辉， 李 鹏

(湖南大学电气与信息工程学院， 长沙 410082)

电力市场中，发电商需要合理分配发电量以追求总利润最大、风险最小。以最坏情况风险价值(WCVaR)作为风险度量因子，建立了发电商在保证一定的期望收益率下WCVaR风险值最小的发电量分配模型，并对其在实时平衡市场、日前市场和中、远期合约市场的发电量分配比例及有效前沿进行了仿真测验。结果表明，所提出的电量分配模型能较真实地反映发电商所面临的市场风险的本质特性，表明了理论分析的正确性和模型的有效性，从而为发电商的投标决策和风险评估提供了新思路。

电力市场； 发电商； 最坏情况风险价值； 发电量分配； 风险评估

电力市场化改革为发电商提供了多种多样的子市场。因此，发电商如何使自己的风险最小，使利润最大(或保证一定的利润水平)，牵涉到发电商的竞价策略问题[1，2]。

基于均值-方差理论，Markowitz(1952)指出投资者将从两个方面决定其投资取向：①从有经验的观察者或主观经验中分析投资参数；②基于收益和风险的平衡点选择投资组合[3]。文献[4～6]都是采用传统的均值-方差模型来度量风险，但随着电力市场的不断发展，其局限性日益暴露。近年来提出了计量收益损失程度的下方风险测量方法，风险价值VaR(value-at-risk)和条件风险价值CVaR(conditional value-at-risk)[7，8]，理论上优于均值方差计量方法。文献[9]基于VaR方法研究电价的波动，并用CVaR估计电力公司的次日购电损失。文献[10]基于CVaR研究发电商的资产分配问题，建立了三个风险-利润模型。文献[11]以CVaR为风险指标，综合考虑风险和期望收益率，建立了新的发电商均值-CVaR投标组合优化模型。均值-方差理论和VaR风险分析都是基于概率论基础上的投资组合选择模型，都是建立在随机变量分布已知情况下。若不知或只知道变量的分布属于某集合等情况，文献[12]提出最坏情景分析，将WCVaR概念引入到投资组合理念中。文献[13]放宽了随机变量服从特定分布的假设条件，通过鲁棒性分析得到投资策略，但其忽略了资产收益的动态变化过程。文献[14]建立了基于WCVaR理论的新的3个最优组合模型，并在随机变量混合分布的条件下将模型进一步简化，建立了3个相应的发电资产组合分配模型。

WCVaR放宽了对分布的要求，可计算仅已知部分概率分布信息情况，更能反映市场风险的本质特性。本文建立了基于WCVaR理论的最优组合模型，并将其应用到发电商发电量分配的研究中，算例分析表明了理论的正确性和模型的有效性,对发电商的投标决策和风险评估具有一定的指导性。

1 CVaR和WCVaR简介

1.1 条件风险价值CVaR

设X为投资组合可行集，X∪Rn，令f(x，y)为损失函数。其中，x∈X为n维投资组合方案向量，y∈Rm为m维随机变量，表示市场的随机因素(如市场利润率)。假设y的联合概率密度函数为p(y)，对于确定的y∈Rn，由y引起的损失f(x，y)是R上服从某一分布的随机变量，其不超过临界值α的分布函数为

Ψ(x，α)=∫f(x，y)≤αp(y)dy

(1)

对于给定的置信水平β，VaR和CVaR的计算式分别为

VaRβ(x)=min{α∈R；Ψ(x，α)≥β}

(2)

CVaRβ(x)=E[f(x，y)|f(x，y)≥αβ(x)]=

(3)

由于式(3)中含有VaR函数VaRβ(x)项，而VaRβ(x)的解析表达式难以求出，引入一个相对简单的函数Fβ(x，α)来计算CVaR，其公式为

(4)

式中，[f(x，y)-α]+为max{0，f(x，y)-α}。

通常情况下，概率密度函数p(y)的解析表达式难以得到，可以利用随机变量y的历史数据，或使用Monte-Carlo法模拟样本数据来给出式(4)中积分的估计。设y1，y2，…，yq为y的q个样本，则函数Fβ(x，α)的估计值为

(5)

在实际计算中，基于式(5)来确定资产的最优组合系数向量X及相应的VaR、CVaR值。

1.2 极坏条件风险价值WCVaR

利用CVaR作为风险度量因子最优化投资组合时，必须准确知道随机变量y的密度函数p(y)。但很多时无法准确知道p(y)，仅知道p(y)∈P(P是个确定的函数集合)。这时，CVaR方法不再适用，文献[15]提出WCVaR理论，定义为

若已知y的密度函数p(y)∈P，WCVaR是指在给定置信度下，某一资产组合在最差收益情景下的CVaR价值，也就是CVaR的上确界，即

(6)

研究投资组合时，可通过调整投资组合x使CVaR达到最小，即在(x，α)∈X×R上对Fβ(x，α)进行最小化，即

(7)

则WCVaR又可表示为

(8)

2 基于WCVaR的投标组合优化模型

假设在风险投资市场中，投资者有n个风险资产。设随机变量y=(y1，y2，…，yn)T≤Rn表示n个风险资产，x=(x1，x2，…，xn)∈X为投资的决策变量，其中X表示决策空间。对于随机变量y和分布空间P(某一集合)，利润函数Rp(x)定义为损失函数取负数，即

Rp(x，y)=Ep[-f(x，y)]

(9)

对于给定的正数约束A1、A2和风险厌恶系数Agt;0，可建立三个考虑风险和利润关系的WCVaR模型。

模型1期望收益最大，WCVaR风险值受约束

(10)

模型2WCVaR风险值最小，期望收益受约束

(11)

模型3期望收益和WCVaR风险值的组合优化模型

(12)

在一定条件下改变参数A1、A2和A时，上述三个优化模型产生相同的有效前沿，即在一定条件下三个模型有相同的最优解。因发电商报价不受限制，其收益只需考虑自身报价和发电成本，收益会保持一定水平，所以会更加注重风险因素。本文采用优化模型2来求解发电商的电能分配问题。

3 基于WCVaR的发电商电能分配模型

发电商将年度总发电量分配到各个子市场时，采取不同的投标组合策略，将会获得不同的收益，同时也将面临不同的风险。本文将发电商总发电量类比为总资产，并将其在各类子市场的收益看作投资回报。这样，发电商的电能分配问题就转化为金融学中的投资组合优化问题。本文以总期望利润作为约束条件，最小化风险水平，建立基于WCVaR风险度量指标的电能分配模型。

定义投标组合的收益函数R(x，y)为

R(x，y)=xTy

(13)

组合收益的均值与标准差分别为

E[R(x，y)]=xTμ

(14)

σ[R(x，y)]=xTσ

(15)

发电商投标组合损失函数f(x，y)为

f(x，y)=-R(x，y)=-xTy

(16)

将式(11)代入式(4)，得Fβ(x，α)的形式为

(17)

取利润率y的样本值y1，y2，…，yq，则式(12)的估计式为

(18)

设虚拟变量zk(k=1，2，…，q)，令zk=[-xTyk-α]+，则zk≥0且zk≥-xTyk-α。

综合式(8)、式(10)和式(14)，于是最小化WCVaR的发电商投标组合优化模型就转化为由线性函数和线性约束构成的线性规划问题。

(19)

(20)

xTy≥e

(21)

(22)

zk≥0

(23)

Zk≥-xTyk-α

(24)

式中，e为收益下线，0≤e≤1。

其中，式(16)的含义为发电商的电量分配约束。与文献[14]模型2不同的是，本文中介入了为组合收益的均值约束，式(17)为其表达式，这样就保证了期望收益满足的条件下实现WCVaR风险值最小，是对本文模型2的具体分析。WCVaR为最坏情况下的CVaR值，式(18)为其线性表达式，求解出来的θ值即为WCVaR风险值，这样就将双层优化问题转化为单层优化问题。

4 算例分析

电力市场中，实时平衡市场、日前市场及中、远期合约市场具有不同的价格波动特性。中、远期合约市场电价波动小，风险相对小；日前市场、实时市场电价波动大，风险也相对较大，但收益相对偏高。本文模拟美国PJM市场数据，通过蒙特卡罗方法获得关于每个市场的500个样本，对其求均值和方差，表1给出了各市场电价的均值及标准差。

表1 各市场电价分布数据

假设发电商各个市场成本统一按照c=30$/(MW·h)进行计算。市场收益率yi=(pi-c)/c，则μgi=(μpi-c)/c，σyi=σpi/c，由此可计算收益率yi的均值和标准差，如表2所示。

表2 各市场的收益率分布数据

表3 发电商发电量分配及WCVaR值

为得到组合收益率E(r(x))随WCVaR值变化曲线，改变约束中的期望收益率下限e，重复上述计算；同时，根据E(r(x))=xTu计算E(r(x))，可得到如图1所示的不同置信水平下的收益-WCVaR曲线，即金融学中的有效前沿曲线。

图1 收益-WCVaR的有效前沿

由表3计算结果和图1可看出。

(1)相同置信水平下，若发电商想获得高的期望收益率，必将增加其在高收益的日前市场的发电量投入，不过，在收益提高的同时也将获得更高的WCVaR风险水平。这也真实体现了日前市场的物理特性。但是，期望收益率也有个范围，故发电商在制定发电量分配策略时期望收益率不能过高或过低。

(2)两条有效前沿曲线都是单调递增的，说明在有效前沿曲线上，增加期望收益率将导致WCVaR风险值增加，反之亦然，这也符合市场行为。

(3)当置信水平增大时，有效前沿曲线右移，相同的期望收益率下，发电商在日前市场的电量分配比例减少，得到的最优点对应的WCVaR风险值增大。置信水平反映了发电商风险承受能力。说明发电商风险厌恶度大，发电商趋于保守。

为了更清楚地说明基于WCVaR风险度量投标优化组合相对于基于CVaR风险度量投标组合的优势性，同样利用表1和表2中的数据，与文献[11]中基于CVaR风险度量方法进行对比， 取为0.20，利用线性规划的LINDO程序再分别进行计算，结果如表4所示。

表4 发电商发电量分配及CVaR值

从两种风险度量方法的计算结果的对比中可看出：在同样置信水平和期望收益率的约束下，基于WCVaR风险度量方法时，发电商在日前市场投入的发电量比例明显增大，而实时平衡市场和中、远期合约市场的比例相对减少，WCVaR风险值也明显大于CVaR风险值。即基于WCVaR风险度量投标组合时发电商会加大日前市场在整个市场中所占的份额来适应市场的变化，追求高利润的同时也遭受着更大的风险损失。这也印证了WCVaR为最坏情况下的CVaR值，能更好地反映不同的市场变化条件，作出相应的分配决策。

5 结语

基于最坏情况风险价值(WCVaR)理论，建立了WCVaR风险最小化的均值-WCVaR模型。将随机优化问题转化为确定性规划问题，计算方便。结果表明：①发电商的利润会随着其所愿意承担的风险的增大而提高。置信水平 能反映发电商的风险承受能力。提高置信水平，发电商趋于厌恶风险，其将增加在中、远期合约市场的发电量分配比例；反之，则将增加在日前市场的发电量分配比例，符合发电商的实际商业行为。②基于WCVaR的组合优化模型结果反映了市场波动情况对发电商投标组合决策的调整，他们可以采取不同的市场分配比例来保证预期的期望收益率和风险水平。③给出了具体的发电商电量的分配比例，并与CVaR模型进行了对比。数值结果表明基于WCVaR风险度量的发电商资产组合模型比CVaR模型结果更优，能更真实地反映发电商所面临的市场本质特性，可为发电商在不同市场的电量分配进行风险评估。

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周 娟(1986-)，女，硕士研究生，研究方向为电力市场风险管理。Email:zhoujuan0616@163.com

江 辉(1964-)，女，博士，教授，研究方向为电力系统优化运行、电力经济以及计算机应用。Email:huijiang1092@hotmail.com

李 鹏(1985-)，男，硕士研究生，研究方向为电力系统配电网重构。Email:3938595 @qq.com

OptimizationPortfolioAllocationforGenerationCompaniesBasedonWorst-caseConditionalValue-at-risk

ZHOU Juan， JIANG Hui， LI Peng

(College of Electrical amp; Information Engineering, Hunan University,Changsha 410082, China)

To obtain the maximal profit and the minimum risk, it is the duty of generation companies to allocate energy reasonably in power market. Taking the WCVaR as risk management index, an optimal energy allocation model was built for generation companies. Plentiful cases were simulated to test the efficient frontier of models and the energy asset allocation ratio for generation companies among real time equilibrium market, day ahead market, middle-term and long-term contract market. The simulation result shows that the proposed model can exactly reflect the essential characteristics of the market risks which the generation companies must face, the theoretical analysis is correct and the new models are valid. Thereby, the proposed model can be applied to purchasing strategies and risk evaluation of generation companies.

power market； generation companies； worst-case conditional value-at-risk(WCVaR)； optimization portfolio allocation； risk assessment

TM73； F123.9

A

1003-8930(2012)01-0156-05

2010-06-02；

2010-07-02