基于涡激力偏相关的大跨度桥梁涡激振动线性分析方法

李明水，孙延国，廖海黎

（西南交通大学 风工程试验研究中心，四川 成都 610031）

0 引 言

从空气动力学的角度来说，大跨度桥梁的主梁断面属于钝体断面，气流分离以及尾流涡脱将导致结构产生振动即涡激振动，在特定风速范围内，旋涡脱落频率被结构振动的频率控制，结构随之发生大幅振动称为锁定现象（lock－in）。Simiu和Scanlan对这种气动弹性现象进行了详细深入的讨论［1］。目前，节段模型试验是研究大跨度桥梁涡激振动的主要手段。为了研究涡激振动产生的机理并将模型试验结果应用到实桥，Scanlan［2］、Larsen［3］等基于 Van der Pol振子模型立了多种线性和非线性涡激力半经验模型。然而，由于涡激力沿跨向的偏相关或非完全相关性以及振型等因素的影响，节段模型试验结果与实际桥梁的不一致仍然没有得到很好的解释［4－5］。

对于实际大跨度桥梁主梁而言，涡激振动属于沿跨向范围内的三维问题［6］。现有的基于模型风洞试验建立的涡激力半经验模型大多假设涡激力沿展向或跨向完全相关，极少考虑涡激气动力的偏相关，少数研究也仅采用一维涡激振动气动力线性组合的方式粗略考虑振动沿跨向的变化［7］。Wilkinson采用刚性节段模型测压方法，研究了方柱体涡激力的相关性，得到了不同振幅下的涡激力相关函数［4］。Ehsan等人采用双指数函数得到了相关函数的拟合形式，并利用Scanlan经验非线性模型和相关性函数，粗略讨论了主梁沿跨向涡激振动［5］。朱乐东［8］指出了考虑涡激力相关性的重要性，鲜荣［9］研究了箱梁的涡激力相关函数并初步将其应用于大跨度桥梁的涡激振动分析。

1 涡激振动的线性理论描述

基于Scanlan涡激力经验线性模型［1］，考虑涡激力（升力）沿跨向存在相位差，可将竖向涡激振动运动方程写为：

上式中，m为结构质量；ζ为结构阻尼比；ω0为结构固有频率；ρ为空气密度；U为来流风速；D为结构迎风向特征尺寸（高度）；y（x，t）为桥面上任意一点涡振响应，x为沿桥跨向坐标；K为无量纲折算频率（K＝ωD／U，ω为旋涡脱落频率）；Y1（K）、Y2（K）、CL（K）、ψ（x）为待识别参数。

引入广义坐标y（x，t）＝φ（x）ξ（t）D，式中φ（x）为主梁振型函数；ξ（t）为无量纲广义坐标。令s＝Ut／D、K0＝ω0D／U，则式（1）可以写成如下形式：

式中，Γ＝

M为模态对应的全桥广义质量，L为主梁长度；

下面讨论F（s）的相关性：

令f（s，x）＝sin［Ks＋ψ（x）］，则F（s）＝

F（s）的相关性可用下式表示：

对上式两边进行Fourier变换可得：

Houblt等人［10－11］都曾定义过如下形式的空间谱的相关函数：R（M，M′，ω）＝SF（M，M′，ω）／S（ω）（M，M′为空间任意两点）。利用上式，则有：

式中，S（ω）为点谱，这里可以看作纯二维的涡激力谱；根据Wilkinson［4］给出的相关函数形式，R与频率无关（鉴于涡振为单一频率的振动，Strouhal数在特定雷诺数范围内为常数，因此R与频率无关是合理的）。上式进一步写为：

定义振型的自卷积分为［12］：

将上式代入式（7），可得偏相关下涡激力折减系数：

显然，Φ∈（0，1］。

基于以上推导，式（2）可重写为：

式（10）是广义坐标下线性涡激振动运动方程，其中常数ψ0为相位差。可将其改写为：

涡激振动运动方程（11）的稳态解为：

对于扭转涡激振动可采用类似的推导过程得到涡激振动的稳态解。

2 节段模型试验结果在原型桥梁应用的讨论

目前尚缺乏桥梁断面沿跨向的涡激力相关性研究，下文以Wilkinson涡激力相关函数为例，讨论将节段模型试验的结果应用到原型桥梁的方法。

Wilkinson［4］通过对方柱体节段模型测压试验得出涡激力相关函数的近似公式：

其中η为振幅与D之比。Ehsan［5］拟合得到如下结果：

图1为根据Wilkinson测压试验结果拟合的相关性曲线。

图1 涡激力相关函数Fig.1 Wilkinson’s correlation function

2.1 节段模型试验

对于节段模型风洞试验，其振型函数φ（x）＝1时，有θ（Δx）＝2（L－Δx）。

当相关函数R（Δx）＝1时（即全相关的情况），折减系数Φ＝1。因此，当涡激力沿跨向完全相关时，对应的折减系数为1，这与现行传统试验方法采用的理论完全一致。

当相关函数R（Δx）≠1时（偏相关的情况），

取z＝Δx／L，＝L／D上式可重写为：

从上式可以看出：折减系数的大小由跨（展）长和振幅决定。采用Ehsan拟合的结果，对公式（15）进行数值积分，得到不同振幅下涡激力折减系数随展长变化的情况，如图2所示。节段模型的长高比决定了二维涡激力向空间涡激力转换时的折减系数的大小。模型越接近纯二维，该折减系数越接近1；而模型的长宽比越大时，这种折减作用越大。同时，涡振振幅与折减系数呈反比关系。

图2 涡激力折减系数Fig.2 Reduced factor of vortex－induced force

2.2 原型桥梁

大跨度桥梁的振型函数需通过模态分析得到。对于大跨度悬索桥的振型函数可近似用三角函数表示，其一阶对称竖弯模态的振型函数可近似写为φ（x）＝cos（π·x／L），一阶反对称竖弯模态的振型函数为φ（x）＝sin（2π·x／L）。将振型函数代入式（9），即可得到实际桥梁或全桥气弹模型对应的折减系数。图3和图4分别为悬索桥一阶对称和反对称竖弯振型对应的折减函数。需要说明的是涡激力沿跨向的相关函数仍近似采用式（13）的表达形式。对于斜拉桥，折减函数的计算需要采用有限元分析得到的振型函数；当然，对于悬索桥，精确计算折减函数同样需要采用有限元分析的模态函数。

由图3和图4可以看出，二维涡激力向空间涡激力转换时的折减系数Φ随结构长高比的增大而衰减。即桥梁跨度越大，折减系数越小；反之，折减系数越大。同时，折减系数也与涡振振幅有关，振幅大，折减系数也大。

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由于涡激力沿跨向不完全相关，在二维涡振响应向空间涡振响应转换时便存在一个小于1的折减系数，该折减系数的大小由模型的长高比有关，这恰可以解释不同长高比的节段模型风洞试验结果以及节段模型试验与全桥气弹模型试验结果均不一致的现象。

图3 悬索桥一阶对称竖弯振型Fig.3 Reduced factor of the first symmetric mode

图4 悬索桥一阶反对称竖弯振型Fig.4 Reduced factor of the first asymmetric mode

2.3 节段模型试验结果在原型桥梁的应用

对于节段模型涡振试验，如果质量、刚度、阻尼等参数均满足相似比要求（质量和阻尼修正方法见文献［8］），节段模型试验的涡振振幅可以通过迭代关系式（16）转换为原型桥梁的振幅：

式中，n为缩尺比；A为涡振振幅；Φ为折减系数；ϑm下标m和p分别代表节段模型和原型桥梁的振幅。具体计算步骤如下：

（1）由已知节段模型试验得到Am，根据式（9）得到节段模型的折减系数Φm；

（2）首先令原桥振幅Ap1＝nAm，根据式（9）得到原桥某阶振型的折减系数Φp1；

（4）在进行第一次迭代时已经对振型函数的差异进行修正，后续的迭代仅需对振幅进行修正，即由Api＋1＝nAmΦpi／Φm进一步迭代计算至结果收敛，便可得到原型桥梁的涡振振幅Ap。

利用上述步骤亦可对不同尺度的节段模型涡振振幅进行转换。此时，n为两个节段模型缩尺比之比；ϑm1＝ϑm2＝1。

3 工程实例

3.1 节段模型试验

以拟建的黄舣长江大桥为例进行分析，黄舣长江大桥为双塔双索面三跨斜拉桥，跨径布置为150m＋520m＋293m，主梁宽31m，梁高3.2m。分别设计了大尺度节段模型（1∶20）和常规尺度节段模型（1∶50）进行风洞试验。大尺度节段模型的长度为3.460m，常规尺度节段模型的长度为2.095m。

试验时两种节段模型均发现了明显的涡激振动。在0.5%量级阻尼下，大尺度节段模型得到的涡振振幅为7.94cm，常规尺度节段模型的涡振振幅为6.54cm。大尺度节段模型的试验结果比常规尺度节段模型的试验结果大21.4%，这种不一致性是由节段模型的长高比不同引起的。不同长高比导致涡激力沿模型跨向的相关性不一致，从而两者的振幅有所差异。根据两种节段模型的长高比以及各自的振幅，应用本文阐述的涡激力偏相关理论对大尺度节段模型试验结果进行修正后，其振幅减小为6.97cm，该结果与常规尺度节段模型试验结果基本一致。

3.2 全桥气弹模型试验

以柳州双拥大跨度悬索桥为研究对象，该桥的孔跨布置为：40m＋430m＋40m，全长510m。主梁采用流线型箱梁设计，桥面全宽38m，主梁高3.5m。分别制作了缩尺比为1∶50的节段模型和缩尺比为1∶60的全桥气弹模型进行风洞试验。

节段模型试验得到的振幅为18.2cm，全桥模型试验得到的最大振幅为5.11cm（对称竖弯）和6.44cm（反对称竖弯）。节段模型的试验结果明显偏大。利用本文阐述的涡激力偏相关理论对节段模型结果进行修正。根据节段模型的参数及试验结果利用迭代关系式（16）对试验结果修正，得到振幅为5.21cm（对称竖弯）和5.04cm（反对称竖弯）。修正后的结果与全桥气弹模型试验结果有较好的一致性。

由于本文推导是基于Ehsan拟合的相关函数，与流线型钢箱梁断面的相关系数有所不同；另一方面，涡激力的气动非线性等因素也会对结果的精度产生影响。因此，修正后的结果与全桥气弹模型试验结果仍存在一定误差。

4 结 论

本文基于涡激力经验线性模型，研究了涡激力沿跨向的相关性，利用频域分析的方法得到二维力谱到空间力谱的折减关系，定义了二维涡振响应向空间转换的折减系数，并给出了节段模型涡振试验结果应用到原型桥梁的具体方法。工程实例结果表明，应用本文提出的涡激力偏相关理论对试验结果进行修正，不同尺度的节段模型及全桥模型得到的涡激振动试验结果与理论结果呈现较好的一致性。

另外，本文对涡激力折减系数的推导基于Ehsan拟合的相关函数，鉴于实际桥梁主梁的涡激力相关函数会有所不同，为更加准确的预测全桥的涡激振动振幅，宜采用适当试验途径获得主梁的涡激力相关函数。

［1］SIMIU E，SCANLAN R H.Wind effects on structures［M］.2nd Edition.New York，1986.

［2］SCANLAN R H.On the state－of－the－arts methods for calculation flutter，vortex－induced vibration and buffeting response of bridge structures［R］.National technical information service，FHWA／RD－80／050.Springfiled，1981.

［3］LARSEN A.A generalized model for assessment of vortex－induced vibrations of flexible structures［J］.JournalofWindEngineeringandIndustrialAerodynamics，1995，57：281－294.

［4］WILKINSON R H.Fluctuating pressures on an oscillating square prism，Part II：Spanwise correlation and loading［J］.Aero.Quarterly，1981，32（2）：111－125.

［5］EHSAN F，SCANLAN R H.Vortex－induced vibrations of flexible bridges［J］.JournalofEngineering Mechanics，1990，116：1392－1410.

［6］WILLIAMSON C H K.The existence of two stages in the transition to three dimensionality of a cylinder wake［J］.PhysicsofFluids，1988，31：3165－3168.

［7］LEE S，LEE J S，KIM J D.Prediction of vortex－induced wind loading on long－span bridges［J］.Journalof WindEngineeringandIndustrialAerodynamics，1997，67－68：267－278.

［8］朱乐东.桥梁涡激共振试验节段模型质量系统模拟与振幅修正方法［J］.工程力学，2005，22（5）：204－208，176.

［9］鲜荣.大跨度桥梁沿跨向主梁涡激振动研究［D］.［博士学位论文］.四川成都：西南交通大学，2008.

［10］HOUBLT J G.On the response of structural having multiple random inputs［R］. WGLR－Jahrbuch，No.1957，1958.

［11］ROBERT J B，SURRY D B.Coherence of grid generated turbulence［J］.JournalofEngineeringMechanics，ASCE，1973，99（12）：1227－1245.

［12］LI Ming－shui，TANAKA H.Extended joint acceptance function for buffeting analysis［J］.JournalofWind EngineeringandIndustrialAerodynamics，1996，64：1－4.