关于复合函数求导有效教学的探究

倪焕敏

（江苏联合职业技术学院常州建设分院，江苏 南京 210024）

关于复合函数求导有效教学的探究

倪焕敏

（江苏联合职业技术学院常州建设分院，江苏 南京 210024）

复合函数求导是高等数学求导的难点和重点，根据复合函数求导法则，讲解如何逐步推进，应用法则解题及解题技巧

求导；复合函数；四关

在高等数学的知识体系中，微积分是一个重要的模块，而导数是微积分中的重点内容之一，在函数的求导中复合函数的求导是一个重点和难点。如何在有限的课堂教学时间内让我们的学生快速、准确的掌握求导方法呢？我认为应该在教学中把形象思维和抽象思维有机结合，围剿重点，突破难点，从而掌握知识，取得理想的教学效果。为此，针对我校学生的具体情况，我设立了“四关”。

一、第一关——复习关

（一）复合函数的概念复习

深刻理解掌握复合函数的概念及其本质是学好复合函数求导的基础。设y是u的函数y=f(u)，u∈B，而u是x的函数u=φ（x）,x ∈A。若 φ(x)的值域 M■B，那么 y=f[φ(x)]称为 y=f(u)与 u=φ(x)的复合函数。U为中间变量。要教会学生通过文字概念看到复合函数的实质是在基本初等函数的未知量x的位置，出现的不是自变量x，而是一个关于x的函数关系式。这一点学生往往会掉以轻心，从而影响到函数的分解。我通过例题的讲解和学生的实际练习相结合，采用头脑风暴法，强化理解记忆。复合函数的分解复习

二、第二关——公式关

（一）科学记忆

学好复合函数的导数首先必须让学生熟练掌握基本函数的求导公式，我们的学生学习积极性普遍不是很高，特别对于记忆公式不太情愿。由于求导的公式比较多又特别容易忘记，因此平时的教学中我会让学生巧记，注意各自的特点，公式之间的差异，并且要求学生每天5分钟公式记忆的时间保证，每次上课之前我还要求学生默写公式，先按照顺序默写，然后打乱顺序默写，反复训练，不断强化，学生对求导公式基本上都能比较熟练的掌握。

（二）合理变化

在掌握公式的基础上必须让学生会正确、合理的运用公式，而其中的重点是学生会活用。使学生记住：只有基本初等函数才可以用求导公式进行求导。同时强调，求导公式中的变量x可以是用其它的字母来代替。不改变公式的实质。例如公式(sinx)'=cosx，变量x可以换成变量u，即(sinu)'=cosu，也可以换成变量v，即(sinv)'=cosv，依次类推。这样可以提高公式运用的灵活性，避免学生死用公式、用错公式现象的出现。同时也拓宽了学生的思维空间，锻炼了学生抽象思维的能力。

三、第三关——求解关

在对复合函数的分解和导数公式熟练掌握以后，可以进入复合函数求导的讲解，在讲解具体方法时还必须注意以下几点：

（一）对复合函数求导法则的理解，即“链式法则”。

“链式法则”是求复合函数导数的核心知识点，是重点也是难点，学生比较难掌握。法则：如果函数u=φ(x)在点x处可导，而函数y=f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也可导，并且它的导数等于函数y=f(u)对中间变量u的导数乘以中间变量u＝φ(x)对自变量x的导数。

通过法则讲解让学生明白求导时的“分”与“合”的关系，“局部”与“整体”的关系。做到心中有数。

（二）对求解步骤的理解，

在具体实施过程中，我总结为“三步法”——分解、求导、相乘。

例如求函数y=sin(x2+3)的导数

第一步：分解成基本初等函数y=sinu,u=x2+3

第二步：分别求导y'u=(sinu)'=cosu,u'x=(x2+3)'=2x第三步：相乘：y'x=y'u·u'x=cosu·2x=cos(x2+3)·2x

第三步：相乘

对于学生而言，复合函数求导方法的理解是解题关键所在，由于我校高职学生的数学基础参差不齐，相当一部分学生初等数学的基础较差，在分层时经常出现简单化和复杂化的现象，求导公式也会经常用错，因此在教学中我总结出让学生记住十字口诀“公式是基础，分层是关键”。在课堂教学中应该注意讲练结合，互相讨论，及时指导的原则。由于复合函数求导题目数量繁多，因此选择题目不在于多，而在于精，要有代表性、目的性。当然必要的课后练习也是不可或缺的。

（三）解题时的一些技巧

2.学完复合函数求导之后切忌简单问题复杂化，例如求函数y=(x3-1)2的导数时，仔细想一想，不需要用复合函数的求导方法，找中间变量u，只需要把函数用完全平方公式展开为y=x6-2x3+1然后用求导法则和求导公式求解即可。因此要让学生根据题目的具体情况具体分析对待，从而做到张弛有度，不盲目。

四、第四关——飞跃关

在熟练掌握复合函数求导的三步法以后，可以让学生尝试用直接法求复合函数的导数（做到心中有u但无u的最高境界），虽然对学生的要求有点高，但我们的学生也是应该能够到达的。例如求函数y=sin(2-x3)的导数时，可以用直接法y'=cos(2-x3)·(2-x3)'=cos(2-x3)·（-3x2），真正体现数学的精妙之处，让我们的学生体会到跳一跳就能摘到果实的成就感。

通过在不同班级的教学实践，学生对复合函数的求导基本都能较好的掌握和运用，这一以往导数教学中的重点和难点比较顺利的被突破。我相信，数学教学中只要教学方法得当，在课堂中真正体现以学生为主体的原则，那么数学课堂教学的效果一定会不断提升，数学课堂教学的未来一定会更加美好。

[1]张月华复合函数求导探析[J]漯河职业技术学院学报 2011（3）

[2]李开萱复合函数求导教学中的形象思维和抽象思维[J]四川师范学院学报 1996（12）

Research on the Composite Function Derivation of Effective Teaching

NI Huan-min
（Changzhou High Occupational Technique School ofConstruction，Nanjing210024 Jiangsu）

The composite function derivation is the derivation of higher mathematics difficult and key derivation method according to the composite function,and explaininghowtostep bystep,the application ofrules ofproblemsolvingand problem-solvingskills.

derivation;compound function;four passes

G623.5

A

1671-5004（2012） 03-0116-02

2012-6-16

倪焕敏（1971- ），男，江苏常州人，江苏联合职业技术学院常州建设分院数学教研室主任，副教授，研究方向：数学教育教学。