高速双螺母滚珠丝杠副轴向接触刚度研究*

何纪承 宋 健 荣伯松 张海水 刘少辉 宋现春

（①山东建筑大学机电工程学院，山东济南250101;②山东大学数学院，山东济南 250101）

伴随数字化控制技术的广泛应用，我国滚珠丝杠的发展正在不断走向高速、高精、低碳的新时代［1］。大导程滚珠丝杠成为高速化的重要途径之一，作为机床的关键功能部件，高速化的同时必须保证加工精度。滚珠丝杠副的轴向刚度是定位精度的重要影响因素，尤其是在机床的传动系统中，滚珠丝杠副的轴向刚度是比较薄弱的环节［2］，因此对高速滚珠丝杠副轴向刚度的研究具有重要的理论和现实意义。本文对双螺母预紧结构的KD4020－3型的滚珠丝杠副进行了研究，提出了不同因素对有预紧的滚珠丝杠副轴向刚度的影响，其结论不失一般性，可以作为其他普通滚珠丝杠的理论参考。

1 双螺母预紧结构滚珠丝杠副的受力分析

为消除滚珠丝杠副的轴向间隙，提高它的轴向刚度，通常采用双螺母预紧结构。图1为双螺母垫片预紧滚珠丝杠副的工作原理图。通过垫片使螺母A、B与丝杠滚道面分别在A、B点接触，且接触角方向恰好相反。

螺母A、B与丝杠滚道面的法向压力分别为PA、PB，垫片的预紧力为FP，法向预紧力为PP。滚珠数目为Z，螺旋升角为λ，接触角为β，则有:

在轴向工作载荷F=0时，PA=PB=PP。

在轴向工作载荷F≠0时，如图1所示，若螺母A在F作用下接触点弹性变形增大，则丝杠滚道面的法向压力也将增加一个附加法向力P1，相反螺母B减小一个法向力P2。于是有:

根据丝杠副的静力平衡条件:

整理后有

令P=P1+P2，有

由式（5）就可以看出P就是在工作载荷F作用下的单个螺母的平均法向力［3］。

2 双螺母预紧条件下滚珠丝杠副的弹性变形

2.1 不承受负载时的弹性变形

由于预紧力的作用，无负载时滚珠丝杠副也会产生轴向变形。在预紧力FP的作用下，螺母和垫片都发生变形，但由于是面接触，其轴向变形量相对于滚珠与滚道之间的接触变形量可忽略不计［4］。由于两个螺母的预紧法向力相同，故其轴向接触变形δP也相同，为

式中:K'为与几何尺寸、材料有关的常数。

式中:μ1、μ2为丝杠和螺母的泊松比;E1、E2为丝杠和螺母的弹性模量;Ks（e）、Kn（e）为丝杠和螺母与滚珠接触处对偏心距e的第一类完全椭圆积分;mna、msa为丝杠和螺母与滚珠接触处的椭圆长半轴系数;ρn、ρs为丝杠和螺母滚道的主曲率。由式（1）与式（6）得

这里K就是轴向接触变形系数。

2.2 承受负载时的弹性变形

在轴向工作载荷F的作用下，设螺母A上单个滚珠所承受的总法向力为PA，则在PA作用下对应的螺母A在A点处的轴向变形量δ为:

轴向工作载荷F所产生的轴向变形量δA应为

所以有:

将上式变换后，可得:

将式（2）代入式（12）则有

将式（13）后两项分别采用幂级数展开并取前两项有:

这样式（13）可表示为

由此证明了很多技术资料中双螺母预紧滚珠丝杠副变形曲线接近线性关系［5］。

3 双螺母滚珠丝杠副的刚度

由式（15）得:

将式（6）、（7）代入式（16）得

K即为滚珠丝杠副的轴向刚度。

从上式可知双螺母滚珠丝杠副的轴向刚度受滚珠个数、接触角、螺旋升角、预紧力的影响。

需要指出的是，预紧以后的滚珠丝杠副仅仅减少了负载引起的接触变形，并没减少螺母与滚道面的接触变形，反而由于预紧使变形量增大了［6］。

4 双螺母滚珠丝杠副刚度影响因素分析

下面对KD4020－3滚珠丝杠副刚度影响因素进行分析。KD4020－3滚珠丝杠副的具体参数［7］如表1所示。

表1 KD4020－3滚珠丝杠副参数

4.1 负载对双螺母滚珠丝杠副刚度的影响

假设双螺母滚珠丝杠副承受的预紧力为10 kN，轴向载荷在1 kN到80 kN之间，根据式（18）得到的接触刚度随载荷的关系曲线如图2所示。

由式（15）可知接触变形与载荷基本成正比，即负载越大变形越大，而刚度值基本保持不变。但是由于接触面的影响，随着负载从1 kN到80 kN变化时变形量的增大导致刚度略有下降。从780 N/μm减小到760 N/μm，基本保持稳定，由此就保持了较好的定位精度。

4.2 预紧力对双螺母滚珠丝杠副刚度的影响

预紧力是单双螺母滚珠丝杠副最大的区别。不同的预紧力下双螺母滚珠丝杠副的刚度随负载的变化如图3所示。

由图3可知提高双螺母滚珠丝杠副的预紧力可以明显提高工作过程中的轴向刚度和定位精度。但是预紧之后的滚珠丝杠副仅仅减小了因为负载引起的弹性变形，并没有减小滚道与滚珠之间的弹性接触变形，反而比没有预紧的单螺母滚珠丝杠副增大了。所以虽然较大的预紧力可以提高轴向刚度，但也会因为接触应力和变形的过大而降低产品的寿命。

4.3 接触角对双螺母滚珠丝杠副刚度的影响

在螺纹滚道的法向截面内，滚珠中心和滚道接触点的连线与螺纹滚道轴线垂线的夹角称为接触角（如图1的β角）。取预紧力为2 kN时，轴向刚度随接触角从30°增大到70°时的变化趋势如图4所示。

接触角对滚珠丝杠副性能有很大的影响，滚珠丝杠副的承载能力随接触角β变大而增大。反之，接触角β越小，丝杠能承受的轴向力越小，同时会使得径向力增大而降低产品的使用寿命。所以从有利于传动、承载性能和滚珠流畅性等的观点来看，目前国内外常采用的标准接触角为β=45°。

4.4 螺旋升角对双螺母滚珠丝杠副刚度的影响

螺旋升角是滚珠丝杠高速化的一个重要参数，为了适应高速化的要求，大部分高速丝杠都有较大的导程，必须通过提高滚珠丝杠的螺旋升角来实现。取预紧力为2 kN，轴向刚度随螺旋升角从4°增大到25°时的变化趋势如图5所示。

从图5可以看出随螺旋升角的增大轴向刚度明显提高，且螺旋升角的增大也提高了丝杠的进给速度，但却会加大滚珠丝杠的导程误差，使高精度进给的难度增加。所以适当加大螺旋升角可在兼顾精度的前提下提高滚珠丝杠副的刚度和进给速度。

5 结语

双螺母滚珠丝杠副的轴向接触刚度受接触角和预紧力的影响较大，适当加大预紧力或者增大接触角可明显改善滚珠丝杠传动系统的刚度，但过大的预紧力或接触角也会使运转过程中的磨损加剧。螺旋升角的增大也会提高滚珠丝杠的轴向刚度，同时提高进给速度，适应了高速化的要求。该结论对其他型号的滚珠丝杠也适用，能够为新型滚珠丝杠的优化设计提供理论参考。

［1］曲岳陵.高速化与高负荷滚珠丝杠之研究对策［J］.世界制造技术与装备市场，2004（3）:68－71.

［2］喻忠志.我国滚动功能部件产业现状分析［J］.制造技术与机床，2004（4）:92－94.

［3］杜平安.滚珠直旋副滚道弹性接触分析［J］.电子科技大学学报，1994（3）.

［4］程光仁，施祖康，张超鹏.滚珠螺旋传动设计基础［M］.北京:机械工业出版社，1987.

［5］宋现春，刘剑.高速滚珠丝杠副综合性能试验台的研制与开发［J］.工具技术，2005，39（3）:34－36.

［6］张玉清.基于STC89C52单片机的滚珠丝杠副刚度检测系统［J］.山东建筑大学学报，2009（2）.

［7］曹建国，陈世平.实现滚珠丝杠螺母副高速化的技术措施［J］.机床与液压，2005（5）:54－55.