地球旋转椭球等面积纬度函数与等量纬度的相互近似变换

田红亮 朱大林 秦红玲

（三峡大学 机械与材料学院，湖北 宜昌 443002）

大地测量学（英语Geodesy，德语Geodasie）是在一定的时间－空间参考系统中，测量和描绘地球及其他行星体的一门学科.由地图投影理论知道，等面积纬度函数、等量纬度皆为大地纬度的函数，在地图制图、大地测量和地球物理等领域有广泛的应用［1］.例如在地图制图中进行不同投影变换时，经常要遇到这些量的反解变换，这些反解变换基本均是非常复杂的超越函数.在解算时采用2种方法：①基于正解公式的迭代法，缺点是不仅效率低，而且理论分析不容易；②直接进行反解变换，经过复杂的Lagrange级数展开，给出直接展开式，但展开式系数是原级数展开式的数值形式，不方便记忆，计算也非常复杂.

为提高GIS大量数据［2］的质量，建立了以大地纬度为自变量的等面积纬度函数、等量纬度的解析解，给出了等面积纬度函数与等量纬度的相互变换近似公式，以CGCS 2000实例对相互变换近似公式进行了绝对误差分析.

1 等面积纬度函数与等量纬度的准确值

由两条子午线和两条平行圈围成的椭球表面称为椭球面梯形.椭球面梯形的等面积纬度函数（单位是 m2）［3］为

式中，a为椭圆的长半轴；e为椭圆的第一偏心率；B为大地纬度，且

式中，b为椭圆的短半轴.

根据定积分的换元法，选择以下变量代换

可将式（1）改写［4］为

INBAR的报告显示，全球约30%的竹林为人工林，私有部门拥有的竹资源超过总量的63%，政府部门拥有的竹资源只有36%；相比之下，80%的世界森林(不包括竹子)是在公共土地上[5]。可见，私营部门对竹子减缓气候变化的作用兴趣更大。大多数国家尚未认识到竹子作为国家碳储存计划的一部分的潜力。中国是首个与INBAR合作开发竹林碳汇方法论的国家。墨西哥在这方面至少落后30年。

整理式（4）可得等面积纬度函数的准确值为

等量纬度（单位是rad）［5］为

通过定积分的变量代换式（3），整理式（6）可得等量纬度的准确值为

2 用等量纬度表示等面积纬度函数的近似值

等角纬度φ满足

式中，tanh为双曲正切函数.

由等角纬度φ计算等面积纬度函数F的直接解算公式［3］为

顾及以下三角函数的通解倍角公式［6］

可得以下4个特解倍角公式

式中，由椭圆第一偏心率e决定的4个系数为

将式（8）代入式（20），得

将式（7）代入式（25），可得用等量纬度表示等面积纬度函数的近似值为

当用等量纬度表示等面积纬度函数时，绝对误差为

3 用等面积纬度函数表示等量纬度的近似值

由ϑ计算等量纬度q的直接解算公式为

式中，artanh为反双曲正切函数；由椭圆第一偏心率e决定的4个系数为

将式（16）～式（18）代入式（28），得

式中，由椭圆第一偏心率e决定的4个系数为

将B＝π／2代入式（5），可得椭球面在球面上等距离投影后的半径平方为

需要指出的是，式（38）不同于文献［7］.

角度ϑ满足

将式（39）代入式（33），得

将式（38）代入式（40），得

式中，由椭圆第一偏心率e决定的5个系数为

将式（5）代入式（41），可得用等面积纬度函数表示等量纬度的近似值为

当用等面积纬度函数表示等量纬度时，绝对误差为

4 2000中国大地坐标系实例分析

有鉴于中国经济、社会和科学技术的发展需求和可能，中国政府决定采用地心三维大地坐标系统，即从2008年7月1日正式启用中国大地坐标系统2000（China Geodetic Coordinate System 2000，CGCS 2000）作为国家法定的坐标系，作为我国新一代的平面基准.2000中国大地坐标系的大地测量基本常数值［8］为：a＝6 378 137m，椭圆的扁率f＝1／298.257 222 101，且

由式（49）得

将式（50）代入式（2），得

等面积纬度函数、等量纬度随大地纬度的变化见表1.值得一提的是，当B＝35°、89°对应的数据不同于文献.等面积纬度函数的绝对误差在0.131 3～6.675 8m2之间，等量纬度的绝对误差在－9.171 0e－5～2.254 5e－8″之间.

表1 F0、F1、ΔF1、q0、q1、Δq1 随B 的变化

等面积纬度函数随大地纬度的变化如图1所示，等面积纬度函数绝对误差随大地纬度的变化如图2所示，等量纬度随大地纬度的变化如图3所示.等面积纬度函数、等量纬度均随大地纬度的增大而增大.图1、图3中的准确值、近似值两条曲线几乎重合，说明近似值非常接近准确值.

图3 等量纬度－大地纬度关系

5 结 语

根据定积分的换元法，详细推导了以大地纬度为自变量的等面积纬度函数、等量纬度的解析公式，给出了等面积纬度函数与等量纬度的相互变换近似公式.以2000中国大地坐标系为实例，分析了相互变换近似公式的绝对误差.

［1］ 边少锋，纪 兵.等距离纬度等量纬度和等面积纬度展开式［J］.测绘学报，2007，36（2）：218－223.

［2］ 廖瑞祥，王 刚，邹良超.基于GIS的三峡库区滑坡空间数据库系统设计［J］.三峡大学学报：自然科学版，2011，33（1）：24－27.

［3］ 李厚朴，边少锋，陈良友.等面积纬度函数和等量纬度变换的直接解算公式［J］.武汉大学学报：信息科学版，2011，36（7）：843－846.

［4］ 同济大学数学系.高等数学（上册）［M］.6版.北京：高等教育出版社，2011：17－20，199，212.

［5］ 孔祥元，郭际明，刘宗泉.大地测量学基础［M］.2版.武汉：武汉大学出版社，2010：201.

［6］ 《数学手册》编写组.数学手册［M］.北京：高等教育出版社，2008：40.

［7］ 杨启和，杨晓梅.测量和地图学中应用的三种纬度函数及其反解变换的线性插值方法［J］.测绘学报，1997，26（1）：92－95.

［8］ 程鹏飞，文汉江，成英燕，等.2000国家大地坐标系椭球参数与GRS 80和 WGS 84的比较［J］.测绘学报，2009，38（3）：189－194.