实数连续性九个等价命题的证明

罗　敬，段　汕



实数连续性九个等价命题的证明

罗敬，段汕*

（中南民族学院 数学与统计学院，湖北 武汉 430074）

叙述九种形式的实数连续性定理，并采用闭循环回路方式证明这九种常见实数连续性定理彼此等价。

实数连续性；等价命题；证明

1　实数连续性命题描述

1.1单调有界定理

1.2闭区间套定理

1.3有限覆盖定理

1.4 界点定理

1.5 确界定理

1.6 实数连续性定理

1.7 聚点定理

定理1.7.1（聚点定理）：实数集的任一无限有界子集至少有一个聚点。

1.8 致密性定理

定理1.8.1(致密性定理):有界数列必含有收敛子列。

1.9 柯西收敛准则

2 实数连续性九个命题的等价性

前面我们叙述了实数连续性的九个命题，现在我们将证明实数连续性的九个命题中任意两个等价。为了节省篇幅，我们用闭循环回路的方式证明。这些证明有助于加深对实数连续性的九个命题的理解及其等价性的理解，有助于掌握用这些定理证明分析中一些重要定理的思想方法。这是《数学分析》中很重要的基本功。下面我们按图1所示顺序证明它们等价：

图1 九个命题的闭循环回路

2.1 单调有界定理→闭区间套定理

存在极限。设

2.2 间区间套定理→有限覆盖定理

2.3 有限覆盖定理→界点定理

故综上可得：假设不成立。

2.4 界点定理→确界定理

2.5 确界定理→实数连续性定理

2.6 实数连续性定理→聚点定理

2.7 聚点定理→致密性定理

2.8 致密性定理→柯西收敛准则

证明: （1）柯西收敛准则的必要性

（2）证柯西收敛准则的充分性

2.9 柯西收敛准则→单调有界定理

至此，实数连续性九个定理的等价性得到了证明。这九个定理的数学形式虽然不同，但都描述了实数集的连续性。这样，我们在解决有关实数连续性的问题时，表述的方式就更多样化了。正如在任何语言中，同一思想可以用多种表达方法一样，同一个数学事实可以有不同的表达方式和不同的证明方法。而在证明过程中，我们不只检验了定理，而且对定理有了更深的理解。随着对数学的深入学习，数学呈现给我们的是一个更加精彩的世界，其中的发现更是无穷无尽的。应用这九个命题，我们可以证明闭区间上连续函数的零值定理、最值定理、一致连续性定理等,从而实数连续性的等价定理有更加广泛的应用空间。

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The Proof on the Equivalence among Nine Theorems of the Continuance of Real Number

LUO Jing, DUAN Shan

(School of Mathematics and Statistics ,South-Central University for Nationalities , Wuhan Hubei 430074 ,China)

This paper illustrates nine theorems of the continuance of real number,and proves the nine theorems are equivalent in the analytic way of closed circle.

Continuance of Real Number; Equivalent Preposition; Proof

O171

A

1009－5160(2012)03－0089－05

*通讯作者：段汕（1962-），女，教授，研究方向：图像处理和模式识别.