b值横截距法在汶川地震最大余震震级预测中的应用

2012-10-14贾朝勇潘玉荣

赤峰学院学报·自然科学版 2012年17期

关键词：主震余震震级

贾朝勇，潘玉荣

（蚌埠学院数理系，安徽蚌埠 233030）

b值横截距法在汶川地震最大余震震级预测中的应用

贾朝勇，潘玉荣

（蚌埠学院数理系，安徽蚌埠 233030）

本文使用8.0级汶川大地震震后四天内不小于3.0级余震序列，利用最小二乘法拟合除去主震的震级-频度关系式中的未知参数，进行了相关系数检验和残差检验.计算出了震级-频度关系式图形在横轴上的截距，该截距就是估算的最大余震震级，结果表明按这种方法估算出的最大余震的震级与实际已发生最大余震的震级很接近.

汶川地震；b值；最小二乘法；最大余震

一次强震（主震）后，岩层中剩余的能量将持续一段时间缓慢地释放出来，因此就会发生一系列的余震.余震趋势是震区人民十分关心的事，也是专家和学者们研究的一个重要课题.由于基础设施受到了主震的严重破坏，因而随后发生的余震特别是最大余震的危害将很大，因此强余震的预报也非常重要.强余震的预报不但能减少灾后的损失，还能增加对地震发展过程的认识.

对余震序列的研究，是理解地震过程的重要途径.一些学者利用大森公式对主震后余震次数进行了研究[1-2].我国学者利用灰色预测理论对强余震发震的时间进行了的研究，结果表明灰色预测理论对6级以上余震具有较好的预测效果[3-5].还有很多学者根据余震序列运用震级-频度关系式和b值对主震后强余震进行探索，结果表明对某些主震后的强余震具有一定的可行性[6-9].本文将对汶川余震数据合理取舍，并利用最小二乘法对震级-频度关系式中的a,b值进行估算，进行了相关系数检验和残差检验，再应用b值横截距对最大余震进行了估计.

1 b值横截距法及相关的统计检验

1.1 G-R关系式及b值的计算

地震研究中最重要的是震级-频度关系式（G-R关系式）：

a和b反映了一定地区的地质构造和地震活动情况，能根据该地区一段时间的地震目录估算得到，其中b反映了该地区某段时间内地震频数的相对比例关系.M是震级，N（M）是某段时间内发生的不小于M级的地震次数.

在利用G-R关系式研究强余震时，a,b值的计算非常重要，最小二乘法是估算a和b这两个常数最实用的方法之一.

最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配.在研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常在实验的过程中得到一系列成对的观察数据（x1,y1）,L（xn,yn）；将这些数据描绘到平面直角坐标系中，若这些点在一条直线附近，可设这条直线方程为：y赞=kx+h，其中k,h是待求常数.

1.2 相关系数检验和残差检验

一般地，在使用最小二乘法估计参数（x1,y1）,L（xn,yn）之前，要对有序数据组进行相关性进行检验.由概率论与数理统计[10]知：相关系数公式为：

ρ的大小表示变量之间线性关系强弱的程度，通常|ρ|≥0.8时，认为两个变量有很强的线性相关性.当ρ越接近于1表明变量线性关系越强，从而说明最小二乘法拟合得越好.

残差是一元线性回归方程计算得到的预测值与实际样本值之间的差距，即

在一元线性回归模型中，由多个ei（i=1,2,L,n）构成的序列称为残差序列.残差检验是一元线性回归方程中的重要组成部分，其出发点是：如果一元线性回归方程能够较好地反应被解释变量的特征和变化规律，那么残差序列中应不包含明显的规律性和趋势性.检验残差是否为服从均值为0的正态分布、检验残差是否为等方差的正态分布、检验残差序列是否独立、借助残差探测样本中的异常值[13].图形分析和数值分析是残差分析的有效工具.

2 b值横截距法在汶川余震中的应用

b值横截距法在研究主震-余震型地震效果较好，因此判断地震类型很重要.自1920年以来，中国大陆发生的所有M≥8地震类型都是主震-余震型，这是因为主震震级大、能量释放彻底，因此再发生震级相当的地震的可能性小；历史上记载川滇地区发生的大地震都是主震-余震型，而地震类型在空间上又具有一定的稳定性[11].基于以上两点可以推测汶川8.0级地震是主震-余震型的可能性较大.

应用G-R关系式对a、b值进行估算时,要注意所用地震序列满足以下条件[6-7]:（1）确定余震的起始时间.（2）余震数必须大于50.（3）确定起始震级.（4）对（1）式应用最小二乘拟合的数据数要大于5个.（5）最大震级与最小震级之差必须大于1.5级.（6）震级要用统一标度.

主震-余震型地震的余震初期，余震频度高、强度大，求得b值比较可靠.随着时间推移，余震频度衰减，强度降低，会使b值显著变小.因此，用b值横截距法估计强余震震级时，使用前期序列会得到较好的结果.基于以上因素，本文选取的地震数据的时间段为2008年5月12日至2008年5月15日.数据来自中国地震台网中心给出的地震序列目录,震级统一标度为Ms.

实际地震资料因受各种因素的影响常与G-R关系式有一定的偏差.由于小震漏记或没有测到，常造成在小震级一端会偏离G-R关系式，出现G-R图形小震级段“掉头”；对于大震资料，由于统计时间不够长，会造成大震部分缺失，常造成在大震级一端会偏离G-R关系式，出现G-R图形大震级段“弯曲”.因此，在确定b值时需适当舍去偏差较大的两头数据，使b值的计算结果偏差尽量减小.

为了避免G-R图形出现“弯曲”，对于小震级一端，由于b值的计算与起算震级的选取有密切关系，为了避免个人选取起始震级的随意性，尽量减小误差，增强b值的准确度，本文采取了抛投法[12].具体做法是：起始震级从2.5级开始，震级分档为0.2级，求出这组数据（M,lgN（M））的相关系数.再把起始震级调为2.6级，震级分档仍为0.2级，求出这组新数据（M,lgN（M））的相关系数.如此反复多次，相关系数会从较小值逐渐增大，达到极大值后又逐渐减小.取相关系数达到极大值时算得b值，从而得到拟合最好的那一次.结果表明：极大值点在3.0,即起始震级为3.0级，该震级恰好是有感地震的初始震级，这也与地震台网精确监测能力相吻合.为了避免G-R图形“掉头”现象，对于大震级一端，本文采用了剔除8.0级主震.

图1 汶川8.0级地震后四天的余震序列G-R关系图

因此G-R关系式应用的数据为：震级统一标度为Ms，起始震级为3.0级，震级分档为0.2级，剔除8.0级主震的汶川后四天的余震数据.以震级M为横坐标，lgN（M）为纵坐标画出散点图，通过图像可以发现散点图几乎位于一条直线上（图1）.根据（1）式，利用最小二乘法计算出的常数a=5.2827，b=0.7974，计算出相应的相关系数|ρ|=0.9974，这充分说明了M与lgN（M）线性关系密切，直线吻合得好.

在图2中，随着标准化预测值的变化，残差点在0线周围随机分布，因此不存在异方差现象.此外还可以通过标准化残差的非参数检验，检验表明标准化残差与正态分布不存在显著差异，可以任务残差满足了线性模型的前提要求.

最后通过延长直线lgN（M）=5.2827-0.7974,得到直线在横截距为6.6，即估算未来最大余震震级Mm=6.6.这与实际2008年5月25日发生的最大余震6.4级很接近，这也表明b值横截距法在汶川最大余震预测中的的应用效果非常好.