浅谈高等数学中蕴含的哲学思想

汪良防

浅谈高等数学中蕴含的哲学思想

汪良防

高等数学作为一门反映现实世界空间形式，表达现实世界数量关系的学科，其自身内部是在一定的矛盾统一体相互作用而不断发生和发展的。在这一过程中，高等数学的发展也遵循自身的规律。而这其中的规律可以用哲学的思想来进行解释。以高等数学中的哲学思想为研究对象，分析与阐述了蕴含其间的有限与无限、特殊与一般、运动与静止、近似与精确等哲学思想。

高等数学；哲学思想；研究

伟大的思想家、哲学家恩格斯曾经说过：“要想表示物质运动状态、形成和发展过程，唯一可以实现或者达到这一目的的只有微积分。”高等数学从本质上来分析是一种表示和展现变量的科学。它所能研究的不仅仅是静止的，更应该是运动的和过程的。因此，从整个高等数学的研究过程来看，在这其中所运用的观点和方法都与初等数学表现出了本质上的不同。高等数学中的辩证唯物主义思想所表现的是事物之间对立统一的关系。这种关系在高等数学中各个方面都有体现。比如：高等数学中的有限与无限之间的关系、特殊与一般之间的关系、量变与量变累计到质变之间的关系，等等。

哲学思想强调，任何事物之间都存在着一定程度的联系，这种联系是普遍存在的。对于高等数学而言，这一观点也同样适用。例如，我国高等数学领域中的著名学者、科学家杨乐和张广厚，就曾经针对函数值分布论中的概念进行了创新性的思考和研究，他们在研究的过程中大量借鉴了唯物辩证法中普遍联系的观念，首次提出了并解释了“亏值”和“奇异方向”之间的具体联系。这一研究结果引起了数学界的高度重视。

自觉运用唯物辩证法联系的观点指导函数理论的研究，第一次发现了函数值分布论中两个主要概念“亏值”和“奇异方向”之间的具体联系，受到了国内外函数论专家的重视。而这只是漫长高等数学发展史上的一个亮点而已。回顾整个高等数学理论发展历程，这样的矛盾与统一无处不在。正是在解决和发现矛盾的过程中，高等数学自身也得到了向前发展的动力和支持。通过不断的实现对立和统一、否定之否定、量变与质变等过程，高等数学不断给我们展示着哲学中的各种辩证关系，使数学学科成为一门真正的学科。

一、有限与无限

我们都曾经经历或目睹过两个小孩子在进行数量比较的过程中，一个孩子可能会说：“我有1000”，另外一个孩子可能会说：“那我有10000，比你多吧？”然后前一个孩子可能会说：“不管你有多少，我都比你多一个”。后一个孩子最后可能会说：“我有整个宇宙的数量。”这样的例子，其实就是高等数学关于“有限”和“无限”之间的关系。

在哲学上来看，“有限”和“无限”是一对矛盾的统一体，二者之间存在一定的联系。无限是有限的发展，无限是由有限所组成的。按照高等数学的思想，无限是“部分和”的极限，这就是利用有限来认识无限的过程。可见，我们在学习高等数学概念的过程中就把辩证统一的思想融入了其中。

“有限”和“无限”概念的提出也是区别高等数学和初等数学的重要标志之一。根据数学推到的思想我们很容易地认识到：既然无限是有限的发展，那么以前针对有限适用的相关命题，当其推广到无限的时候是否依然成立呢？经研究我们发现，这其中的一些命题依然正确，但是也有一些命题是不正确的。这便是矛盾统一思想的真实写照。例如，由1＜2，2＜3，…，n＜n+1，…推得l+2+…十…n+…＜2+3+…+(n+1)+…。若记x=2+3+…+(n+1)+…，则有1+x＜x，即1＜0。很显然，这样的推算得到了矛盾的结果。因此，在高等数学不断的发展过程中，我们会研究到底哪些是普遍适用的，哪些具有特殊的意义。在这过程中，需要特别给予重视的是：当推广不成立时，其中是否有特殊命题可以推广？如果经过相关的研究和总结分析后发现可以推广，并推广成功，那么我们就得到了一个新的发现和新的创造。这就是矛盾中的不断发展。

从有限到无限的发展，对于数学发展来说具有重要的历史意义。它的开创对于微积分中相关概念的理解起到了极大的促进作用，为高等数学的发展奠定的基础。总之，作为高等数学微积分中的基本概念——有限与无限，是我们理解和发展微积分的重要工具。而在这种理解和发展的过程中，正是借助哲学中的辩证统一思想把微积分一步步引向深入。无限能够通过有限来进行表示，而有限可以通过一定的方式转化成无限。这就是事物思考的过程、发展的过程和变化的过程。这也真正体现了恩格斯的观念——“无限来自于有限，永久来自于暂时”。

二、特殊与一般

数学实际上是一门认识世界数量关系和组合形式和方法的科学。可是，我们面对的世界是一个纷繁复杂的世界，充斥着普遍性与特殊性，即个性和共性同时存在。如果用数学的工具来表示这一观念，就是特殊与一般的辩证关系。回顾高等数学推导和发展的过程，我们不难发现：每个概念或者原理的发展，最初都是通过特殊例子引出的。通过对特殊例子的详细分析，形成一定的抽象，于是便得出了相关的新的数学概念。例如在求函数的n阶导数的公式以及求级数的通项等时，我们的研究和认识过程往往是先研究分析特殊项目，然后运用归纳、概括的方法得出一般项。这就是从特殊到一般的过程。

三、运动与静止

“一切皆变，无物常住”，这是一个原始的朴素的世界观。辩证唯物主义认为，世上万物处于运动之中，运动是相对的，静止是存在的，但又不是绝对的静止，而是相对的、有条件的静止。这一原理启发我们，“动”和“静”是不能完全割裂的，解题中有时动中求静，把动态问题暂时处于静止状态来观察、分析，可以获得成功；有时却静中觅动，运用相对运动的观点来研究，又会收到事半功倍的效果。

总之，动与静是中国哲学史上的一对重要范畴，关于两者关系的探讨，最早见于老子哲学。他说：“反者，道之动；弱者，道之用。”老子认为万事万物的运动变化都是循环反复的，事物的发展必然要走到自己的反面，这就是“道”的运动。诚然，老子把静看成是绝对的，并不正确，但他看到了动和静之间的关系不是截然对立的，而且他是历史上第一个辩证揭示动静关系的思想家。事实上，对动和静的辩证把握，正是中国哲学的优良传统之一。明清之际的思想家王夫之说得十分透彻：“动极而静，静极而动……方动即静，方静即动，静极含动，动不舍静。”动与静是事物相互依存的两种状态，它们是对立统一的关系。同时运动是绝对的，静止是相对的。

四、近似与精确

高等数学中的近似与精确，在哲学思想中也是一个矛盾的统一体。虽然是对立统一的关系，但是在一定程度上也可以互相转化，而这种转化就是高等数学的内核所在。在高等数学研究过程中，我们经常提到的“部分和”、“平均速度”以及“圆内接正多边形面积”等概念，实质上都是一种近似的概念，所运用的就是“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”等的近似值，在借助之前我们所分析和阐述的“极限”的概念，这种“近似”就变成了“精确”。

从高等数学解决问题的思路出发，我们发现，高等数学解决的问题大多属于非均匀分布或非均匀变化的问题。因此，解决问题的过程较为复杂，运用和使用的公式不是简洁和完美的。所以，研究过程应该是一个从有限到无限的过程，从量变到质变的过程。这其实也体现了对立统一的哲学思想。

五、高等数学与文化的渗透研究

数学是一门古老而又年轻的科学。说它古老，是因为它历史悠久，可以追溯到结绳计数时代；说它年轻，是因为直到现在数学的发展也没有停止过，现代计算机技术的日新月异与数学的发展密切相关。

正是大自然中的千变万化，影响着我们去思考和发现新的数学理念和数学方式。诸如：大数学家欧拉在听到“哥尼斯堡七桥问题”的故事后得到了一定的启发，与其所研究的事物发生了联系，才最终使得现代数字中拓扑学得到了产生和发展。而最著名的贝努利也正是受到“滑梯”形式的特点，总结并提炼出了著名的“最速下降线问题”。由此可见，高度数学已经渗透到我们生活的方方面面。高等数学的不断发展将进一步推动其他自然学科的不断发展和壮大。

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B-49

A

1673-1999（2012）10-0039-03

汪良防，男，泉州经贸职业技术学院（福建泉州362411）讲师。

2012-02-12