损伤与断裂耦合效应的能量理论研究及应用

安丽媛，朱为玄，卓鹏飞，孙伟伟

(河海大学力学与材料学院，江苏南京 210098)

混凝土中微细裂纹和缺陷的生长与发展实质上是一个损伤断裂耦合的物理过程[1-2].根据裂缝扩展时整个系统能量的变化来判断裂缝的稳定性[3]，这种分析方法的概念比应力应变概念更为有利.在材料的破坏过程中，损伤和断裂裂纹是同时存在的，断裂力学只研究宏观裂缝的扩展稳定性及其扩展规律问题，损伤力学不涉及宏观裂缝的存在及其失稳扩展行为.因此，将二者结合起来研究材料的破坏就显得必要且合理.

笔者针对张开型裂纹的破坏过程[4]，通过损伤力学[5]和能量法推导出一种耦合效应参数:损伤型能量释放率，并采用数值仿真模拟三点弯曲梁的断裂过程(应用ANSYS有限元模拟)[6]，以形成该参数的理论应用基础.结合盖下拱坝的工程实例，建立设置人工底缝的有限元模型，进行裂纹前沿的断裂损伤分析，验证耦合理论的合理性，为该理论提供一种应用途径.

1 双G断裂模型与损伤型能量释放率的推导

混凝土的非线性断裂行为已经是公认的事实[7]，因此为了尽可能地使用线弹性公式描述，断裂过程区常常被等效为弹性裂缝[8].如以线弹性渐进叠加假定[9]作为基本前提，大连理工大学提出了双G断裂模型[10].该模型基于能量法分析原理，通过引进起裂断裂韧度 GⅠC，ini和失稳断裂韧度GⅠC，un(为Ⅰ型裂纹)作为2个阶段的分界点.混凝土的非线性断裂过程可归纳如下:(a)G＜GⅠC，ini，裂缝不扩展(G为断裂韧度);(b)G=GⅠC，ini，裂缝初始起裂 ;(c)GⅠC，ini＜G＜GⅠC，un，裂缝稳定扩展 ;(d)G=GⅠC，un，裂缝处于临界失稳状态 ;(e)G ＞GⅠC，un，裂缝失稳扩展.

通常，对于未受损的材料，由有效应力的概念和应变等价原理，并考虑张量性质后，假定材料为各向同性，各向同性损伤时损伤能量释放率Y[11]可以表示为式(1)，当为单轴应力时损伤能量释放率可简化表示为式(2).

式中:We——弹性应变能密度;D——平均损伤;σ——应力;E——弹性模量.

式(2)形式简单，从热力学势的角度给出了材料由于损伤所引起的能量损耗，应用中要求损伤较均匀地分布在材料一定区域内(式(2)为损伤的二阶函数)，但实际材料往往由于缺陷复杂以至于产生应力奇异性和损伤的复杂性，导致式(2)在应用中存在困难.

笔者拟结合以上分析结果，考虑将式(2)应用于材料断裂(奇异性产生)时的情况.由式(1)给出了损伤能量释放率和弹性应变能密度的关系，而对于Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ复合型的裂纹运用叠加原理[12]，可以得到弹性应变能密度表达式.当材料裂纹为Ⅰ型裂纹时(此时裂纹扩展路径已定，取断裂角θ=0)，可导出损伤能量释放率表达如下[12]:

标记

式中:ν——泊松比;GⅠ——Ⅰ型裂纹断裂韧度.

综合损伤能量释放率及断裂能量释放率，同时考虑损伤和断裂效应对材料的影响，推算得Ⅰ型裂纹损伤型的能量释放率，记为GⅠD，对照式(3)，该参数反映了裂纹尖端小邻域内的物理场强.需要说明的是，虽然式(4)中包含能量释放率GⅠ，但由于GⅠD是由损伤能量释放率推求得到，与GⅠ的本质含义却不同.结合式(1)可推断GⅠD的物理意义是一种变形能，表示裂纹附近一种耦合场的能量场强，是表示材料发生损伤后的一种能量“储存”能力.GⅠ是一种无损材料的应变能释放率，可作为一种裂纹扩展力.GⅠD和 GⅠ两者有一定的等值关系，可以用GⅠ来计算GⅠD，但GⅠD却不被看做材料损伤后的能量释放.尽管如此，仍然可以利用GⅠ的断裂准则来对比分析GⅠD的变化规律，从该角度建立一种耦合分析的方法.

2 三点弯曲梁的断裂损伤耦合仿真分析

基于文献[2]的试验过程与结果，对4组高度分别为200mm，300mm，400mm，500mm的三点弯曲梁进行ANSYS仿真分析[13].试验龄期为60d，试验时测得试件的抗压强度为29.56MPa，密度为2250kg/m3.基于线性渐进叠加假定，裂缝开裂方向加密的单元尺寸为10mm(考虑实际混凝土材料骨料的尺寸，未将单元尺寸取更小值)，其余单元尺寸近似为30～50mm，在裂纹扩展处布置COMBIN14弹簧单元，采用虚拟裂纹闭合法[14]对以上试件进行数值模拟，根据裂缝扩展全过程得到GⅠ，Y，GⅠD随缝长a的变化情况(图1，P为荷载).

图1 数值计算结果Fig.1 Numerical simulation results

对数值计算结果(图1)进行分析，可以认为Y随外荷载的变化与外荷载(包含重力)随a的变化规律相似，都有着较明显的非线性性质.不同的是，Y的最高点稍微滞后于a随裂缝发展的最高点.关于这一点可以解释为:外荷载施加到试件上后，材料的损伤是一个累积发展的过程，能量转换与释放过程并不是瞬时完成的，其反应理应滞后于外荷载的变化;GⅠ基本表现为增长型变化，失稳后增长更快;裂尖单元平均意义上的损伤型能量释放率随裂纹的扩展有着较平稳的增长，其非线性特征明显弱于Y和GⅠ，即找到一种较为简单的损伤断裂耦合参数来描述混凝土的非线性性质.在外荷载-位移的加载曲线基础上，可获得损伤型能量释放率在裂纹失稳时的数值，结果显示该数值比较稳定，基本不随试件尺寸的变化而变化(相同材料属性下，失稳时的损伤型能量释放率为20N/m)，可以作为反映材料随外界载荷条件变化时其相应的一种内在的物理场参数，用以描述在裂纹扩展及损伤发展过程中的耦合效应.

3 损伤型的能量释放率分析法在混凝土拱坝中的应用

盖下拱坝水电站采用混凝土双曲拱坝，为了将损伤断裂耦合理论应用于拱坝[15]，设置人工底缝[16]，设缝方案为自坝踵向坝内延伸距离与坝厚之比等于0.153[17]，即缝深为2.29m，缝面高程为260.00m，坝基底高程为253.00m.坝体混凝土弹性模量为39.2GPa，泊松比为0.167，密度为2420kg/m3;基岩弹性模量为30GPa，泊松比为0.21，密度为2660kg/m3.对拱坝进行网格划分及添加弹簧单元后的模型见图2、图3.坝体和基岩总共为9563个单元，模型节点总数为35841个，基于虚拟裂纹闭合法[18-20]分析拱坝中截面处裂纹前沿的损伤断裂情况.

考虑水位从260m上升到设计蓄水位时裂纹前沿的损伤场和断裂场，设在裂纹不扩展的情况下计算每荷载步水位上升5m时裂纹前沿的损伤断裂情况.计算中损伤演化方程采用试件TPB500-2的参量获得缝面前沿的损伤情况.由于计算中损伤能量释放率、损伤型能量释放率以及损伤演化方程都是基于平面问题得到的，严格来说，并不能将其直接应用于三维模型，但是本文由于只考虑裂纹面前沿单元的损伤断裂情况，此时Ⅰ型裂纹张开的趋势很大，张开应力(z向比其他2个方向的大很多，基本为10倍关系)可以近似简化为平面的Ⅰ型裂纹问题来考虑，结果如图4、图5所示.

图2 设置人工底缝坝体模型Fig.2 Dam model with basejoint

图3 坝体网格剖分示意图Fig.3 Mesh map of arch dam

图4 GⅠD和GⅠ随蓄水深 H变化曲线对比Fig.4 Change curves of GⅠD and GⅠwith water level change

图5 水位上升时损伤与断裂的发展情况对比Fig.5 Comparison of variations of damage and fracture with rise of water level

随着水位的均匀增长，裂纹张开口位移也不断变大，最大张开位移为2.495mm.距离裂纹前沿1个单元位置处的损伤发展较裂纹前沿处的损伤发展滞后且缓慢，可以预测出材料损伤的发展总是在缺陷的某邻域内按一定大小关系分布(小邻域内).通过计算分别给出GⅠ和Y，以及GⅠD随水位上升的发展情况.GⅠ经历较平缓的变化，这一点对于无损材料(本文建模实际上基于无损材料)而言较为符合，但并不能反映由于损伤(此时并未断裂)所带来的影响;由于裂纹尖端损伤发展过快导致此处损伤能量释放率失去意义，因此实际计算是由裂纹前沿相距1个单元处的损伤值求得，是裂纹前沿一定范围外的耦合情况，但未将断裂过程区作为一个整体考虑;GⅠD结果如图4所示，从较缓慢的阶段发展为快速增长，这一点可以从材料缺陷的角度解释，即材料在损伤断裂的一定程度内其“弱化”较慢，而当材料缺陷损伤进一步扩大时材料“弱化”直至失效的速率也加快了.图5综合地说明了裂纹前沿损伤与断裂的耦合情况，蓄水深度从70～100m附近材料损伤发展较快，其余参数趋势近乎一致，蓄水深度130m之后各参数变化趋势则不尽一致，变化速率都有所提高，GⅠ未考虑损伤对裂纹发展的“加剧”影响;损伤能量释放率发展过快，低估了损伤接近最大值时的材料“容忍”限度;GⅠD介于GⅠ和Y两者之间，有待于用其描述裂纹前沿附近损伤断裂的耦合情况.

从数值计算的结果来看，对于裂纹附近的物理场而言，当问题从平面的三点弯曲梁到三维拱坝模型时，具有较大的差异，这表现在三点弯曲梁初始缝高比为0.4左右，能量释放率在缝高比发展到0.6左右(此时加载最大)时裂缝失稳扩展，而拱坝初始缝厚比仅为0.153、蓄水至335m(本工程仿真最终蓄水位为390m)时拱坝裂缝前沿的能量释放率就达到了146.07N/m，损伤型能量释放率达到22.728N/m，达到了裂纹失稳的条件(本文中损伤型能量释放率在20N/m附近失稳).因此，对于实际处于三维形式的材料而言，张开型裂纹可能更加危险.

4 结 论

a.从能量法的断裂力学理论出发，结合Loland损伤模型理论，以损伤能量释放率推导过程为基础，推导了一种用于描述损伤与断裂耦合过程的参数:损伤型的能量释放率.

b.在线性渐进叠加假定的基础上，结合虚拟裂纹闭合法的仿真计算手段，运用通用仿真计算软件ANSYS对1组三点弯曲梁进行仿真计算，求得损伤型的能量释放率，将其发展过程与能量释放率、损伤能量释放率加以比较，得到相应裂纹失稳时的数值.

c.结合盖下拱坝的工程实例进行仿真计算，提出设置人工底缝的验证思路，进行三维建模仿真分析，得到裂纹前沿的损伤、断裂、耦合参数随水位的发展情况，反映出损伤型的能量释放率能较合理地描述裂纹前沿邻域内损伤断裂的耦合场，但理论尚不完备，仍需检验，在采用其他损伤模型以及其他材料的应用上值得探究.

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