关于线性代数教学的研究

2012-10-08唐朝君廖正琦

重庆高教研究 2012年4期

唐朝君，廖正琦

(重庆交通大学理学院，重庆南岸 400074)

线性代数是理工科和经管类专业开设的一门重要的数学基础课，它在培养学生的数学素质和数学能力等方面都起着重要的作用．线性代数的理论和方法已经广泛应用到各个领域，尤其在计算机技术日益发展的今天，该课程的地位与作用显得更为重要．线性代数的内容比较抽象，课时较少，加上长期受到应试教育的影响，“填鸭式”为主的教学仍然占绝对的统治地位，使得大部分学生感觉该门课程枯燥、乏味，缺乏学习的积极性．笔者从教学实践出发通过3个方面来提高线性代数的教学效果．

1 丰富应用实例，激发学生的学习兴趣

线性代数作为一种数学工具，它的理论和方法在物理、化学、生物技术、国民经济和航空等领域都有着广泛的应用，但在目前多数线性代数教材中，相关的应用实例非常少．这就使得学生在学习过程中看不到所学知识有何应用，加上课程内容比较抽象，很多学生在学习过程中感觉到枯燥、乏味，从而缺乏学习的积极性．因此，在教学过程中教师应主动搜集相关的实例，解决学生心中“该门课程有何应用”的问题，激发学习兴趣．

例如，教材上有计算范德蒙行列式的这个例题，单单是求解这样一个行列式，似乎没有太大意义．如果能够介绍它的应用，不但能使学生加深印象，还能提高学习的兴趣．事实上，可以用范德蒙行列式的结论证明大家熟知的一个结论，即一个实系数的n次代数方程在实数范围内至多有n个不同的零点．假设x1，…，xn+1为n次代数方程a0+a1x+…+anxn=0的n+1个不同的零点，将这些零点代入到方程当中可得：

不妨把代数方程中的系数a0，a1，…，an当做未知数，那么上面的n+1个等式就是一个齐次线性方程组．很显然，其系数行列式正好是一个范德蒙行列式，根据假设和范德蒙行列式的结论，系数行列式不等于0，则可推出ai=0，i=0，1，…，n，与已知条件矛盾．故结论得证．

矩阵运算在密码学中的应用也是一个非常好的实例．预先定义

1 2 3 …26 a b c …Z

为了传输信息：home，把对应的代码写成：

由于军事机密的要求，可设定可逆矩阵(密钥)：

接收者收到的矩阵(密码)为：

当收到密码时，只需通过计算B=A-1C就可破译出原始密码．实际运用过程中，还可设定更为复杂的密钥．有了这个例子，可以让学生看到矩阵的运算在实际当中的应用．

2 引导学生主动思考，发挥其主体地位

现代教育理论告诉我们，在教育过程中，既要承认教师的主导地位，重视教师的主导作用，又要体现学生的主体地位，充分发挥学生的主动作用．因为任何一种教学活动，教师的主导作用都必须建立在学生的主体地位的基础上，脱离了学生的主体地位，教师的主导作用就不会产生作用．同时，学生主动性的发挥又会促使教师主导作用更好地发挥［3］．在线性代数的教学中，教师必须进行有效的引导，让学生积极主动地进行思考．

再例如，在做矩阵运算的时候，特别是运算中包含乘积运算时，很多学生容易使用矩阵乘法的“交换律”，那么如何让学生主动意识到矩阵乘法一般不满足交换律呢?可以给出下面两个例子，留出时间让学生自己运算，然后让他们自己进行总结．

从这两个例子当中，学生都会得到AB≠BA，甚至在(1)中BA没有意义．这样一个结论由学生自己进行计算，自己总结，其教学效果要比教师灌输给学生好得多．

3 结合Matlab软件进行辅助教学

将Matlab数学软件作为辅助工具引入到线性代数的教学中，可以提高学习兴趣，培养学生用计算机解决问题的能力，也可为学生今后应用该软件在工程、信息等领域进行计算、模拟、仿真等打下良好的基础，在让学生感到学有所用的同时，强化学生的应用意识，培养学生的应用能力，进而增强学生对知识的掌握和理解．Matlab软件使用起来非常方便，对于课程中要求掌握的大部分计算内容，都只需在命令窗口输入简单的命令就可以实现．例如，只需在命令窗口输入rank(A)、det(A)、eig(A)就可以分别求出矩阵A的秩、行列式和特征值．因此，可以把教师和学生从繁琐的计算中解脱出来，从而提高教学效率．教师也可以把教学重点放在培养学生分析问题、解决问题的过程上，培养学生的科学计算能力和用数学知识解决实际问题的能力．

例如，在讲授初等矩阵的时候，往往要任意选取一些矩阵和初等矩阵做乘积运算，让学生观察初等矩阵在做乘积运算时的作用．在学习这部分内容时，学生对矩阵乘积的运算已经非常熟悉，没有必要再花时间去做乘积运算．此时，使用Matlab软件可以直接得到运算的结果，学生可以有更多的时间去观察其中的规律，从而可以把有限的时间花在关键的内容上，提高教学效果．