缠绕于一般曲面体上张紧力的有限元计算

吴 飞，李德华，莫玉林

（1.贵州大学 机械工程学院，贵州 贵阳，550003；2.中铝长城建设有限公司 越南项目部，河南 郑州，450041；3.西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，陕西 西安，710048）

1765年，瑞士数学家欧拉对张紧缠绕于圆柱体上线绳的张力与缠绕角，推导了数学力学关系式，即欧拉公式，从而奠定了挠性体摩擦理论的基础。在机械工业中，带传动、制动器、对物体的牵引、提升、搬运等都会涉及到柔性体的摩擦理论。经典欧拉公式对小角度缠绕于圆弧面上的线绳张紧力的计算很方便，若用经典欧拉公式计算接触面为非圆弧面情况下的张紧力，误差就很会大，对我们的工程应用会产生一定的影响。

本文介绍一种缠绕于一般曲面体上的广义欧拉公式，运用ANSYA WORKBENCH对其进行有限元分析计算，对分析的结果和公式进行比较，最后得出结论。

1 缠绕于一般曲面体上的广义欧拉公式

设一根线绳缠绕于一般曲面体上，接触线为一般曲线。假设线绳是理想的挠性体，在工作中不能伸长，也无弯曲阻力存在，忽略线绳转动时离心力的影响（v<10m/s）。如图1所示，取一段接触带AB进行分析，并在AB弧上取一微小段线绳，其所对应的微小圆心角为，在该微弧段处的曲率半径为R(s)。

图1 线绳缠绕于一般曲面体

图2 微段线绳的力平衡关系

如图2所示，对微弧段dl作受力分析，其两端受力分别为F和F+dF，线绳对转筒的正压力为dFN，其摩擦力为μdFN，μ为线绳与转筒间的摩擦系数。线绳在即将打滑的临界状态下，各个力在水平和竖直方向的平衡关系为：

此即为缠绕于一般曲面体上的欧拉公式。

2 有限元计算

本文通过对一具体实例作有限元计算，分析卷筒缠绕时的线绳张紧力的情况，与用上述介绍的广义欧拉公式分析的结果进行比较。以下采用solidworks建立三维模型，然后导入ANSYS WORKBENCH进行有限元分析计算。

2.1 建模

在solidworks中建立一缠绕于一般曲面体上的卷筒缠绕三维模型，该卷筒分别由6个圆弧面和平面交替组成。首先创建一个内接圆半径为200mm的六边形，再将其6个角用半径为100mm的圆弧进行圆角，然后通过实体拉伸生成模型。该卷筒内径为280mm，卷筒厚250mm，绕绳厚为30mm，宽为100mm，卷筒与绕绳间的摩擦系数为0.3，建立缠绕包角分别为 60°、120°、180°、240°、300°、360°的三维模型。如图 3 所示缠绕包角为360°时的装配体模型。在solidworks中将所建立的装配体另存为Parasolid格式，再分别导入到ANSYS WORKBENCH中进行有限元分析。

图3 卷筒缠绕有限元模型

图4 接触曲线形状参数

2.2 公式分析

根据模型参数，这些模型的接触面为圆弧面和平面的组合面。如图4所示的接触曲线，这些接触曲线由圆弧和直线段交替结合组成，且各段圆弧和直线的参数相同。

2.3 模型的有限元分析计算

绕绳与卷筒是柔—刚性面面接触问题，分别将各个导入的模型在ANSYS WORKBENCH中设置好接触参数、摩擦系数，绕绳一端施加1000N拉力，另一端设置为固定约束，将转筒固定，划分好网格，进行结构非线性分析。求得缠绕包角为120°时绕绳截面上的等效应力分布如图5所示，用探针probe分别探测出缠绕线绳在各个不同缠绕包角时的紧边等效应力和松边等效应力，结果如图5、图7所示，并将所得的结果列在表1中。

图5 卷筒缠绕等效应力图

图6 缠绕包角为60°、120°、180°时线绳两端的等效应力值

图7 缠绕包角为240°、300°、360°时线绳两端的等效应力值

2.4 计算结果分析

由上述知，张紧力的计算公式为：F2≈1000/e0.3α。用数学分析软件Matlab绘制出此公式的曲线图，如图8所示。x轴方向表示接触时圆弧段参与的包角，y轴方向是绕绳的等效应力。将表1中所得的结果点描在图8等效应力曲线图中，如图所示圆圈点即为有限元分析的结果。

图8 公式与有限元分析计算结果比较

从图8分析可看出，有限元分析计算的结果和公式计算的结果在一定范围内有一定程度的相符性。由此可知上述介绍的广义欧拉公式在一定范围内可以指导实际的工程应用。

3 结论

本文运用有限元法对模型进行计算分析，与公式计算所得的结果对比，借用数学分析软件Matlab将它们绘制在一张图上，直观地进行比较。

由结果比较可知，运用ANSYS WORKBENCH有限元计算的结果和公式计算所得的结果在接触圆弧参与的包角较小时，两者的结果比较相符；圆弧参与的包角较大时，两者的结果之间有一定的误差。故本文介绍的缠绕于一般曲面体上的广义欧拉公式在一定范围内可以指导实际的工程应用，可以减少我们在遇到此类问题时计算张紧力时的误差，比运用经典欧拉公式计算的结果更接近实际。所以上述介绍的缠绕于一般曲面体上的广义欧拉公式具有更普遍的实用意义。

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