上海软土坑中坑型基坑围护的等效深度计算法

徐意智 ，廖少明 ，周小华，申明亮

（1.同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2.同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092；3.中铁第四勘察设计院集团有限公司，武汉 430063）

1 引 言

坑中坑型基坑在实际工程中非常普遍，但由于设计施工处理不当，导致了大量事故。究其原因是人们对这类基坑中的局部深坑的影响认识不足。目前，对坑中坑型基坑的研究主要集中在施工处理措施上，而在设计中仅有少数学者做了深入研究。吴铭炳等[1]对坑中坑基坑设计嵌固深度的取值作了初步的探讨，他认为，支护结构强度计算主要考虑基坑周边的坑中坑的影响，稳定性、嵌固深度验算考虑相当于1.0～1.3倍开挖深度范围以内坑中坑的影响；若坑中坑与支护结构有一定距离，取坑中坑底按垂直夹角45°+φ/2（φ为土层内摩擦角）与支护结构交点位置深度（且不小于开挖深度）；当距离进一步加大时，仅稳定性计算和嵌固深度计算取上述深度。他认为，虽然上述的一些观点缺乏充分的理论依据，但比较简单，通过实践和监测也证明这种方法是可行的。

众所周知，深基坑挡土结构的设计与基坑的设计计算深度息息相关，而坑中坑基坑的内外坑之间的相互影响较为复杂，给设计参数的选取和计算带来很多困难。徐为民等[2]从某工程坑中坑基坑滑坡失稳事故的原因分析中认为，滑坡事故是坑中局部深坑引起的整体稳定性不足引起，并建议在坑中坑设计时将地下室基坑与坑中坑作为整体考虑，验算其整体稳定性。

申明亮等[3]对坑中坑的应力场进行了系统的参数化分析。他认为，在坑趾系数、面积比、深度比和插入比这4个参数中，对坑中坑应力场影响最大的是面积比，然后依次是坑趾系数、深度比和插入比。徐中华[4]、廖少明[5]等认为，基坑支护结构除满足自身强度要求外，还须满足变形要求。当今软土或城市密集建成区基坑工程的设计及施工已经实现从强度控制向变形控制的转变。

本文针对有支撑挡墙的坑中坑型深基坑（以下简称坑中坑深基坑），基于申明亮等[3]提出的4个几何参数中前3个重要参数：坑趾系数、面积比和深度比，探讨一种等效深度计算方法，从而可将坑中坑基坑等效为常规基坑，以便于将计算较为复杂的坑中坑深基坑简化为一般的深基坑工程进行设计，防止坑中坑设计中参数取值的随意性导致的风险。鉴于插入比最终取决于等效深度，故不列入本文变量的讨论范围。

2 等效方法的概念与参数定义

工程中典型的坑中坑深基坑形式如图1所示。参考文献[3]，作如下定义：坑趾系数χ=ω/H，其中ω取内坑离外坑墙体距离最近的一侧。内外坑开挖宽度比α=b/B，其中b为内坑的开挖宽度，B为外坑的开挖宽度；内外坑开挖深度比β=h/H，其中H为外坑的开挖深度，h为内坑的开挖深度[2]。

图1 等效方法概念Fig.1 Conception of equivalent method

从坑中坑影响的机制分析可知，内坑开挖对外坑最本质的影响在于，内坑的开挖卸载导致的外坑墙前被动区土体抗力的损失，而这个抗力的损失是由内坑墙体的位移引起的。外坑被动区地层压力（应力）的重新分布与变形密切相关，在极限破坏之前其表现为形变压力。因此，在满足整体稳定性条件下，内坑墙体的侧移引起的外坑墙体的侧移增量就是坑中坑问题的核心。

一般深基坑工程的变形大小取决于设计计算深度。当存在坑中坑影响时，总可找到一种基于变形等价的无坑中坑情形的普通基坑（以下简称常规基坑）深度来作为外坑围护墙体设计计算深度。更广泛意义上讲，等效深度的基本理念是，在保持外坑宽度B不变的前提下，找到与坑中坑深基坑中外坑墙体最大侧移相等的常规基坑的开挖深度，并认为这样的基坑开挖深度就是坑中坑工程的等效深度，其中的墙体均取为相对靠近内坑轴线的墙体。这样做的目的在于在工程设计的层面上，将坑中坑深基坑工程的内力变形计算问题转化为便于操作且在规范中有章可循的常规基坑工程问题。

为便于讨论，引入等效深度系数 λ= Heq/(H+h)，其中Heq为等效深度；等效影响角θ即内坑坑脚与等效深度处外坑墙体上点的连线与竖直方向的夹角，如图1所示。

3 等效方法的可行性

为全面考虑坑中坑基坑各因素的影响，从而避免推导过程中简化假定的局限性，本文首先采用连续介质模型数值模拟方法来探讨基坑开挖深度的等效方法，这种做法与纯粹基于极限破坏理论的解析法相比，除了能较全面考虑反映各种几何参数影响之外，还能把变形因素考虑进去，从而获得更为符合实际变形状态而非极限状态的结果。

首先，为验证上述等效概念的可行性，有必要对不同坑中坑尺寸的基坑进行全面的数值模拟分析。

土体参数选用上海市《地基基础设计规范》附录A中典型的上海各土层的力学参数指标[6]，如表1所示。

表1 土层力学参数指标Table 1 Soil mechanics parameters

坑中坑的外坑开挖深度取为8 m，开挖宽度为30 m，外坑和内坑的围护墙选用0.6 m厚的地下连续墙。本文主要研究内坑尺寸以及相对位置对外坑的影响，为避免不同情况下围护墙插入比以及支撑的不同对本研究的影响，外坑围护墙的总深度统一取为22 m，内坑围护墙的总深度统一取为14 m，外坑在深度为0～4 m的位置处分别设置支撑，取0.8 m×0.8 m截面的钢筋混凝土支撑，内坑统一不设置支撑。

按照不同的内外坑开挖宽度比α、深度比β和坑趾系数χ一共计算了57种坑中坑组合形式（其中内坑开挖深度h分别取值2、4、6 m）。采用Drucker-Prager准则进行理想弹塑性分析。

图2～4是(H, χ, α, β)分别为（8, 0.375, 0.3,0.50）、（8, 1.125, 0.2, 0.50）和（8, 1.500, 0.2, 0.75）的3种情况下的数值计算模型。图5～7则分别为这3种尺寸条件下按照等效的方法算得的坑中坑基坑和等效常规基坑的外坑墙体变形和弯矩的对比图。

从图5～7中可以看出，等效常规基坑和坑中坑基坑墙体的侧移在外坑坑底以上均能很好地吻合；而在外坑坑底以下，等效常规基坑的墙体侧移均比坑中坑基坑的墙体侧移略小，但侧移规律是一致的。

图2 数值计算模型（(H, χ, α, β)=(8, 0.375, 0.3, 0.50)）Fig.2 Numeral calculating model（(H, χ, α, β)=(8, 0.375, 0.3, 0.50)）

图3 数值计算模型（(H, χ, α, β)=(8, 1.125, 0.2, 0.50)）Fig.3 Numeral calculating model（(H, χ, α, β)=(8, 1.125, 0.2, 0.50)）

图4 数值计算模型（(H, χ, α, β)=(8, 1.500, 0.2, 0.75)）Fig.4 Numeral calculating model（(H, χ, α, β)=(8, 1.500, 0.2, 0.75)）

图5 等效常规基坑和坑中坑基坑对比（(H, χ, α, β)=(8, 0.375, 0.3, 0.50)）Fig.5 Comparison between equivalent excavation and pit-in-pit excavation（(H, χ, α, β)=(8, 0.375, 0.3, 0.50)）

图6 等效常规基坑和坑中坑基坑对比（(H, χ, α, β)=(8, 1.125, 0.2, 0.50)）Fig.6 Comparison between equivalent excavation and pit-in-pit excavation（(H, χ, α, β)=(8, 1.125, 0.2, 0.50)）

图7 等效常规基坑和坑中坑基坑对比（(H, χ, α, β)=(8, 1.500, 0.2, 0.75)）Fig.7 Comparison between equivalent excavation and pit-in-pit excavation（(H, χ, α, β)=(8, 1.500, 0.2, 0.75)）

而等效为常规基坑后的墙体弯矩与坑中坑基坑的墙体弯矩也在外坑坑底以上几乎一致，在外坑坑底以下有非常微小的差异，且这种差异明显小于两者侧移的差异。在外坑坑底以上，墙体弯矩的差异与墙体侧移的差异能够很好对应，在外坑坑底以下，由于等效常规基坑和坑中坑基坑的侧移差异较小，且侧移规律一致，导致了墙体弯矩的差异进一步缩小。

从上述分析可知，用最大外坑墙体变形来控制的等效开挖深度的思想在整体上能够很好地兼顾挡土结构变形和内力两个方面的等效，且局部的微小侧移差异也是可以接受的，从而说明了等效方法的可行性。

4 等效深度计算方法

由于λ是关于α、β和χ这3个变量的多参数函数，为得到该函数表达式，可通过控制变量法（两个变量不变，改变其中一个变量）来分别研究λ与3个变量之间的关系。从关系比较明确的变量入手，结合约束条件，一步一步推出整个λ的表达式。

4.1 等效深度系数λ与e-2β的关系

为研究λ与β之关系，按照控制变量法原则，将每组α、χ固定，β分别取0.25、0.50和0.75，从57种工况数据中共提取到如表2所示的9组数据，绘成图8所示的9条曲线。

从图8可以看出，λ与 e-2β呈现出非常明显的线性关系，λ可以写成如下的表达式：

表2 λ 与控制变量β 的相关数据Table 2 Related data of λ and β

图8 λ 与 e-2β的关系Fig.8 Relationships of λ and e-2β

对图中所示的①～⑨曲线做最小二乘线性拟合，得出f1(χ,α)、f2(χ,α)分别为（0.119 4，0.788 0）、(0.114 8，0.828 8)、(0.191 2，0.813 7)、(0.361 4，0.627 0)、(0.401 1，0.634 2)、(0.419 3，0.636 3)、(0.514 3，0.528 0)、(0.530 1，0.538 4)、(0.574 7，0.531 2)。

很明显，基于上述数据，可以近似认为，f1(χ,α)+f2(χ,α)=1，且其满足约束条件β=0，λ=1。

故式（1）可以进一步写为

4.2 等效深度系数λ与坑趾系数χ的关系

同理，可从57种工况数据中获取6组λ随χ变化的系列数据，将后者χ变换形式后，得到图9所示的λ与 (1 - 1/(χ+ 1)2)的关系曲线。

由图9可知，λ与 (1- 1/(χ+ 1)2)基本上呈线性的关系，同理，可将λ表达成如下的形式：

由于λ要同时满足表达式（2）和表达式（3），故λ的表达式可以惟一地确定为如下的形式：

图9 λ与χ的关系Fig.9 Relationships of λ and χ

4.3 等效深度系数λ与 e-3α的关系

同理，可从57种工况数据中获取9组λ随α变化的系列数据，α经变换后绘制得到λ与 e-3α的关系曲线如图10所示。

图10反映两者近似线性关系，由式（4）最终可以将λ的表达式确定为

显然，式（5）满足χ=0、λ=1的边界条件。

图10 λ与 e-3α 的关系Fig.10 Relationships between λ and e-3α

4.4 等效深度系数λ与等效影响角θ

根据前面的定义，等效影响角θ（如图1所示）的数学表达式为

图11为(α,β)分别为(0.6, 0.6)、(0.3, 0.6)和(0.3, 0.3)3种情况下等效深度系数λ和等效影响角θ随坑趾系数χ变化的情形。

图11 λ和θ 随χ的变化规律（η =1）Fig.11 Change laws of λ and θ with χ（η =1）

从图11可以看出，当χ大于1.5时，等效深度系数λ随χ的增大而减小的趋势渐渐趋于平缓，而等效影响角θ随χ的增大而增大的趋势也趋于平缓，说明当坑趾系数χ大于1.5时，内坑的开挖对于外坑的影响减弱。

此外，等效深度系数λ和等效影响角θ还受到地层参数及基坑开挖施工质量的影响，为将式（5）、（6）在其他软土地层进行有效推广，有必要对式（5）、（6）确定的经验公式进行修正。例如，式（5）可以加入一个考虑土层参数、支护参数、外坑开挖深度和宽度、实际施工质量等等因素的综合系数η，公式为

以本文的地层参数、支护参数、外坑开挖深度宽度和正常施工为基准，认为η=1。通常情况下η=0.8～1.0，根据当地地质或施工条件选定。当地质条件较差或施工质量很难控制时，可取η=0。关于η的取值将在后续的论文中作进一步的研究。

5 算例对比验证

按照前面提出的等效深度系数λ的计算公式（5），在H=8 m，B=30 m的情况下，选取15组不同坑中坑组合形式基坑，分别采用坑中坑模型和等效基坑模型进行数值模拟计算得到的结果如表3所示。

表3 对本文方法的检验Table 3 Verification of empirical formula

从表可以看出，按式（5）得到的等效深度系数λ与数值模拟计算得到的λ值非常接近，最大偏差都控制在5%以内。

另外，为进一步验证其在当前常用基坑设计计算模型中应用的可行性，分别选取表3中加“*”号2、5、8等序号3种坑中坑形式，采用规范推荐方法[7]对基坑计算深度外坑底深度、内坑底深度以及等效深度分别进行计算，得到的挡土墙侧向位移如图12所示。

图12 等效方法实例Fig.12 Example for equivalent methodology

从图中可以看出，计算深度采用等效深度进行计算得到的结果介于计算深度采用外坑底深度和内坑坑底深度的计算结果之间，这一结果显然是合理的。在本算例中，采用等效深度计算的结果比采用坑外深度的计算结果大30%～50%，比采用内坑坑底深度的计算结果小20%～30%。

6 结 语

本文针对坑中坑基坑外坑墙体围护设计提出了等效深度的设计概念，并通过对各种尺寸组合情况下的坑中坑的数值模拟计算，归纳、推导了等效深度的计算公式。该计算公式简便实用，并反映了坑中坑的关键技术参数：内外坑面积比α、深度比β及坑趾系数χ等的影响。通过与其他方法的比较，最大偏差控制在 5%以内，计算结果也在规范推荐方法的合理范围之内，验证了本文等效深度计算方法的可行性。

值得指出的是，本文方法是建立在平面弹塑性模型基础之上，并没有考虑空间效应、地质条件及内坑支护刚度的影响以及等效深度在基坑稳定性验算中的应用。此外，内坑自身的围护设计以及坑中坑基坑的降水设计也是坑中坑基坑设计中的重要问题，这些将在后续的研究中作进一步的讨论。

致谢：本文得到了中铁第四勘察设计院集团有限公司相关科研项目的资助，在此表示感谢！

[1]吴铭炳, 林大丰, 戴一鸣, 等. 坑中坑基坑设计支护与监测[J]. 岩土工程学报, 2006, 28(增刊): 1570－1572.WU Ming-bing, LIN Da-feng, DAI Yi-ming, et al. Design and monitoring of retaining of pits in foundation-pit[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2006,28(Supp.): 1570－1572.

[2]徐为民, 屠毓敏. 某工程坑中坑塌滑原因分析及加固设计[J]. 岩土力学, 2010, 31(5): 1555－1563.XU Wei-min, TU Yu-min. Landslide analysis and reinforcement design of the pit-in-pit[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(5): 1555－1563.

[3]申明亮, 廖少明, 周小华, 等. 坑中坑基坑应力场的参数化分析[J]. 岩土工程学报, 2010, 32(增刊): 187－191.SHEN Ming-liang, LIAO Shao-ming, ZHOU Xiao-hua,et al. Parametric analysis on stress field of pit in pit excavation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(Supp.): 187－191.

[4]徐中华, 王建华, 王卫东. 软土地区采用灌注桩围护的深基坑变形性状研究[J]. 岩土力学, 2009, 30(5): 1362－1366.XU Zhong-hua, WANG Jian-hua, WANG Wei-dong.Deformation behavior of deep excavations retained by bored pile wall in soft soil[J]. Rock and Soil Mechanics,2009, 30(5): 1362－1366.

[5]廖少明, 侯学渊. 基坑支护设计参数的优选与匹配[J].岩土工程学报, 1998, 20(3): 109－113.LIAO Shao-ming, HOU Xue-yuan. The optimum selection and coupling of design parameters in excavation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,1998, 20(3): 109－113.

[6]上海现代建筑设计（集团）有限公司. DGJ08－11－1999上海地基基础规范[S]. 上海: [s. n.], 1999.

[7]上海市勘察设计行业协会. DG.TJ08－61－2010上海基坑工程技术规范[S]. 上海: [s. n.], 2010.