基于色噪声背景下的自适应波束形成研究

朱永建， 徐鹏飞

0 引言

在阵列信号处理的各种方法中，一般假设信号的背景噪声为白噪声，但在实际应用中，往往不是严格的白噪声。此外，由于实际信号的协方差矩阵均是通过有限次的快拍数据得到的，因此假设在信号中的噪声为纯粹的白噪声的情况也并不一定成立。虽然相关文献[1-3]对色噪声情况下的波达方向（DOA）估计进行了探讨，但不够深入，特别是自适应波束形成方面的研究。

在色噪声环境下会引起主瓣偏离和副瓣升高—波束畸变。对角线加载技术[4-6]是比较传统的波束保形方法，它在色噪声情况下情况不是很理想，容易造成自适应零点变浅，甚至可能使自适应零点消失，并且在实际应用中加载量也不易控制。

1 色噪声环境下自适应波束形成

假设窄带天线阵存在N个，P个不相关的干扰组成了远场平面波信号，可将由阵列天线进行接收的信号由下式表示：

阵列接收信号的协方差矩阵为：

式 中 ， Rs= E [ S ( t) ⋅ S ( t )H]干 扰 相 关 矩 阵 ，= R [n ( t) ⋅ n ( t )H]为噪声协方差矩阵。在通常白噪声环境下， Rn=σ2I（σ2为噪声功率）。

将白噪声作为背景噪声时，经数学推导可得最小误差准则、最大信噪比准则以及最小方差准则下，背景噪声与自适应权值无关。已知期望信号的导向向量为0()θa，3个准则是一致的，推导出自适应权值为：

首先假定没有干扰，这时阵列协方差矩阵自适应权值为：

式中，0()θa为含加权的静态表示导向矢量。当噪声为白噪声时：

此时自适应权向量与静态导向矢量相同，其方向图就是静态方向图。在色噪声情况下，从式（4）可以看出，由于 Rn-1的不同，自适应权和静态导向矢量不一致，这会导致波束畸变。其次，当空间存在单个干扰时，设干扰导向矢量为v，干扰功率为πv，空间色噪声协方差矩阵为 Rn，它与干扰是不相关的，可得干扰与噪声的协方差矩阵为：

则自适应权值为：

当干扰功率πv→∞时，式（7）变为：

在白噪声环境下，式（8）可简化为：

令

给定的式中，P为投影矩阵，由式（10）得出：自适应权值与干扰矢量正交，因而在干扰方向将形成零点。

当存在色噪声时，令 ：ˆ

P亦为投影矩阵，同时为幂等矩阵。在色噪声环境下，经式（9）可推出自适应权值与干扰方向正交，将在干扰方向形成零点。

经过以下换算，推得自适应方向图：

有以上可知，在信号中的干扰方向上，自适应处理将形成零点。而在其它方向，静态方向图和波束形成的形状是基本相同的。

当存在色噪声环境时，将式(8)代入式(12)得：

从上式可得，在干扰方向上自适应波束形成将形成零点，至于其它方向，因为 Rn-1存在加权，白噪声情况下，波束形状的方向图将不一样，波束产生畸变。

2 波束保形方法

经过以上分析，当存在色噪声时，自适应波束形成方法如果不变，自适应方向图上就会发生畸变，将导致主瓣偏离和副瓣变高。实际情况下，容易出现虚警。

将协方差矩阵R进行特征分解：

式中，iλ表示特征值，iu表示特征值相对应的特征矢量。存在色噪声时，特征值偏离了白噪声环境下的特征值分布，升高降低均存在。传统的克服波束畸变的对角线加载技术表现的效果不好，会产生零点消失，同时加载量也不好控制。

首先对数据进行白化处理，即

白化处理后协方差矩阵为：

波束畸变的产生是由于噪声的相关矩阵，而不是应为单位阵，若令：

则能消除小特征值的扰动，1R的所有小特征值都是1。通过1R计算自适应权值可以抵消式(15)中噪声协方差矩阵的干扰。通过1R得自适应权值，表达式为：

当存在功率趋于无穷大的单个干扰时，类似前面的推导，可得自适应权值为：

由式（19）可以看出，1W 正交于干扰矢量，因而由式（18）得到的自适应权值能在干扰位置形成自适应零点。

此时，自适应方向图为：

从式（20）可以看出，利用1w自适应权值进行自适应处理，进而得到，方向图将在干扰方向上产生零点，至于其他方向，静态方向图和波束形状基本相同，即具有较好的波束保形能力。

应当指出，处理会使输出信号干扰噪声比会有损失。在无干扰时，利用自适应权值得到的输出SINR为：

而最佳自适应处理得到的SINR为：

所以，SINR性能会有损失。

3 计算机仿真结果

（1）在色噪声情况下波束方向图

仿真中线阵间隔为半波长，阵元数为16。法线方向为期望信号的方向，干扰来自-400和300，干扰功率为40 dB。色噪声空间协方差矩阵为 Rn=[σlm]，其第l行m列的元素为：

如图 1所示，快拍数为 3*16-2,静态的、白噪声和干扰与色噪声和干扰的方向图。但快拍数为 1024时，其他条件不变，这时的方向图如图2所示，可以看出当快拍数增加时，也就是说快拍数增加相对于色噪声趋于成为白噪声，这时副瓣有所下降，白噪声加干扰时，零陷变深。

图1 静态、白噪声和干扰与色噪声和干扰的方向

图2 静态、白噪声和干扰与色噪声和干扰的方向

（2）色噪声下角度变化与SINR的关系

存在单个干扰信号时（干扰功率为40 dB）,干扰方向在-900～900进行变化，阵列输出信号的干扰信噪比（SINR）的变化情况如图3和图4所示，最佳自适应权值得到的结果在图中用SmiSINR所注释实线表示，SeIaoShengSINR所注释的虚线表示色噪声情况下的SINR关系，星线表示修正后的输出SINR关系。此时输出的SINR损失约为20 dB。

图3 SMI、色噪声和干扰及修正后的输入与输出关系

图4 SMI、色噪声和干扰及修正后的随着干扰角度变化与输出（SINR）的关系

4 结语

分析在色噪声情况下的自适应波束形成方法，以及有限次快拍下自适应波束畸变的原因。在此基础上，提出了一种已知噪声协方差时可以从根本上解决波束畸变的波束保形方法[6-10]。虽然实际更多情况是噪声协方差矩阵未知，这时可利用叁数化阵列处理方法根据模型叁数，进而得到噪声协方差矩阵。

[1] 王永良.空间谱估计理论与算法[M].清华大学出版社,2004.

[2] YU S J, LEE J H. The Statistical Performance of Eigenspace-based Adaptive Array Beamformers[J].IEEE Trans, Antennas Propagat, 1996, 44(05)：665-671.

[3] FELDMAN D D. An Analysis of the Projection Method for Robust Adaptive Beamforming[J]. IEEE Trans,Antennas Propagat, 44(07)：1023-1030.

[4] CARLSON B D. Covariance Matrix Estimation Errors and Diagonal Loading in Adaptive Arrays[J]. IEEE Trans, Aerospace and Electronic systems, 1988,24(04)：397-401.

[5] CARLSON B D. Equivalence of Adaptive Array Diagonal Loading and Omnidirectional Jamming[J]. IEEE Trans,Antennas Propagat, 1995, 43(05)： 540-541.

[6] 邓维波, 陈鹏.一种基于波束空间的单次快拍MUSIC算法[J].通信技术,2010,43(04)：22-24.

[7] 曾奋, 董英凝, 邓维波.均匀线阵幅相误差和互耦效应的自校正[J].通信技术,2010,43(04)：31-33,36.

[8] 曾明,徐建城,蔡会甫.估计相干与非相干信源的 ESPRIT新方法[J].信息安全与通信保密, 2010(05)： 58-60.

[9] 魏盈盈,陈绍炜.一种新的高效 DOA估计算法[J]. 信息安全与通信保密，2009(12)：99-101.

[10] 栗世涛,肖永刚,孙业功.一种抑制发散的联合检测方法[J]. 信息安全与通信保密，2010(10)：98-100.