自反矩阵下矩阵方程AXB+CXD=E的最佳逼近解

孙合明，李庆芳，杨家稳

(1.河海大学理学院，南京 210098;2.滁州职业技术学院，江苏滁州 239000)

首先介绍本文中的一些符号。Rm×n表示m×n阶矩阵的集合。I表示单位矩阵。AT表示矩阵A的转置矩阵。对于矩阵A，B∈Rm×n，A⊗B表示A与B的Kronecker积，〈A，B〉=trace(BTA)定义为它们的内。‖A‖表示矩阵A的Frobenius范数，即‖A‖2=〈A，A〉。vec(·)是矩阵A=(aij) ∈Rm×n的拉伸算子，定义为

矩阵P若满足PT=P和P2=I，则称P是反射矩阵。对反射矩阵P∈Rm×m和Q∈Rn×n，若有A=PAQ，则称矩阵A∈Rm×n是关于(P，Q)的广义自反矩阵，并把所有 m×n阶(P，Q)广义自反矩阵的全体表示为(P，Q)。

本文主要考虑如下问题:

问题 1 对于给定的实矩阵 A，C∈Rs×m，B，D∈Rn×t，E∈Rs×t，求 X∈(P，Q)，使得

问题2 设问题1的解集合为SE，对于给定(P，Q)，求，使得

矩阵方程在控制和通信理论有着重要作用，在计算数学方面也是一个非常活跃的研究专题。问题2来源于常见的实验设计，这里矩阵X*可由实验获得，它可能不是矩阵方程AXB+CXD=E的解。

文献［1－2］提出了几种解决矩阵方程AX+XB=C的方法。文献［3］给出了矩阵方程AXAT+BXBT=C的对称解。在矩阵方程ATXB+BTXTA=D相容的情况下，文献［4］给出了它的极小范数解。在矩阵方程ATXB+BTXTA=D不相容的情况下，文献［5］给出了求解给定矩阵最佳逼近解的一种算法，文献［6－7］分别给出了其最小二乘解和极小范数最小二乘解。文献［8］给出了求解矩阵方程AXB+CXTD=E极小范数最小二乘解的迭代方法。文献［9］给出了矩阵方程AXB+CXD=F相容情况下的中心对称最佳逼进解。关于反射矩阵P的自反(反自反)矩阵在系统和控制理论、工程、科学计算等多个领域都有广泛的应用［10－11］。目前，已有越来越多的学者致力于研究矩阵方程的自反(反自反)最佳逼近解［12－13］，但是还没有文献涉及求解矩阵方程AXB+CXD=E的自反(反自反)最佳逼近解。

本文在线性系统解集标准正交基的基础上，给出了集合SE的表示形式，继而在集合SE中给出问题2的最佳逼近解的表达式，最后通过2个数值实例验证该算法的有效性。

1 问题1和问题2的解

本节利用矩阵零空间的标准正交基，给出问题1和问题2解的表达方式。

问题1是一般的约束优化问题，由于给定的目标函数和约束函数的特殊性，可以给出问题1解的表达方式。

定理 1 X=PXQ 等价于 vec(X)=B1x，其中 B1=(ξ1，…，ξr)，x=(x1，x2，…，xr)T，ξ1，ξ2，…，ξr是矩阵(QT⊗P－I)零空间的标准正交基。

证明 由自反矩阵的定义有

设ξ1，…，ξr是矩阵(QT⊗P－I)零空间的标准正交基，则式(5)的任意解vec(X)可以表示为故得式(6)。

定理 3 问题 1 的最优解可以表述成 vec(X)=B1B2y+t，其中 y=(y1，y2，...，ys)T，B2=(η1，…，ηs)，t=B1T，η1，…，ηs是矩阵A'B1零空间的标准正交基，T 是方程A'B1x=b'的一个特解，B1，A'，c'如定理1和定理2所述。

证明 将vec(X)=B1x代入ψ(vec(X))=‖AXB+CXD－E‖2，得到

要使Φ1(x)取得极值，必有▽Φ1(x)=2A1x－2b1=0，得A1x=b1。设η1，…，ηs是矩阵A1零空间的标准正交基，T 是 A1x=b1的一个特解，则 x=(η1，…，ηs)(y1，…，ys)T+T=B2y+T，其中 y=(y1，y2，…，ys)T，B2=(η1，…，ηs)，则问题1的最优解可以表述为 vec(X)=B1x=B1(B2y+T)=B1B2y+t，其中t=B1T。

定理4 设B1，B2分别是定理1和定理3中的列满秩矩阵，则B1B2是列满秩矩阵。

证明 B1是(p2+q2)×r列满秩矩阵，则必存在一个r×r的满秩矩阵U和一个r×r的单位矩阵Ir，

使得

定理5 设VX*=vec(X*)，其中X*是给定的矩阵，则问题2的解为

其中B1、B2、t分别如定理1和定理3所述。

证明 根据定理3，问题1的最优解为VX=vec(X)=B1B2y+t。设

注释1

2)对于问题1和问题2，如果限制矩阵X和Y属于反自反矩阵集合，那么通过类似的方法可以求得它的反自反最佳逼近解。

2 数值测试

选取2个实例来验证本文的算法。试验均在Matlab 2007R上进行。

例1 考虑方程AXB+CXD=E，其中

可以证明上述方程是相容的，有唯一自反矩阵解

应用式(7)，可以直接得到如下解:

相应的误差R=‖A X^B+C X^D－E‖=5.070248950780553e－012。例1有力地说明了本文所给解的表达式的正确性。

3 结束语

本文借助于矩阵零空间的标准正交基，首先给出约束条件的解的一般表达式，继而得到问题1的解的表达式。根据函数取得极值的必要条件，最后得出问题2的最佳逼进解的表达式。该表达式简单明了，无需迭代即可直接计算出结果。对任意给定的矩阵，无论矩阵方程是否相容，运用本文给出的解的表达式都可以求出方程AXB+CXD=E的最佳逼近解。本文给出的2个数值实例有力地证明了该表达式的有效性。

［1］Richard H B，Stewart G W.Solution of the Matrix Equation AX+XB=C(Algorithm 432)［J］.Commun ACM，1972，22:820-826.

［2］Golub G H，Nash S，Van Loan C.A Hessenberg-Schur method for the problem AX+XB=C［J］.IEEE Trans Automat Control AC，1979，24:909-913.

［3］Chang X W，Wang J S.The symmetric solution of the matrix quations，AXAT+BXBT=C and(ATXA，BTXB )=(C，D)［J］.Linear Algebra Appl，2000，311:67-78.

［4］袁永新.两类矩阵方程的极小范数解［J］.高等学校计算数学学报，2006，24(2):127-134.

［5］盛兴平，苏友峰，陈果良.矩阵方程ATXB+BTXTA=D的极小范数最小二乘解的迭代算法［J］.高等学校计算数学学报，2008，30(4):352-362.

［6］袁永新.矩阵方程的最小二乘解［J］.高等学校计算数学学报，2001，23(4):324-329.

［7］袁永新，戴华.矩阵方程ATXB+BTXTA=D的极小范数最小二乘解［J］.高等学校计算数学学报，2005，27(3):232-238.

［8］Minghui Wang，Xuehan Cheng，Musheng Wei.Iterative algorithms for solving the matrix equation AXB+CXTD=E［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，187:622-629.

［9］刘大瑾，周海林，袁东锦.AXB+CXD=F的中心对称解及其最佳逼近的迭代算法［J］.扬州大学学报，2008，11(3):9-13.

［10］Chen H C.Generalized reflexive matrices:special properties and applications［J］.SIAMJ MatrixAnal Appl，1998，19:140-153.

［11］Chen H C，Sameh A.Numerical linear algebra algorithms on the cedar system［C］//Parallel Computations and their Impact on Mechanics，AMD.［S.l.］:The American Society of Mechanical Engineers，1987:101-125.

［12］Xiang-yang Peng，Xi-yan Hu，Lei Zhang.The reflective and anti-reflective solutions of the matrix equations AHXB=C［J］.Journal of Computational and Mathematics，2007，200:749-760.

［13］Zhen-yun Peng，Xi-yan Hu.The reflective and anti-reflective solutions of the matrix equation AX=C［J］.Linear Algebra and Appl，2003，375:147-155.