不均匀板振动特性的数值计算与实验研究

李桂云，马秀琴

（1.天津冶金职业技术学院 机械系，天津 300400；2.河北工业大学 能源与环境工程学院，天津 300401）

0 引言

机械设备用不均匀板材相比均匀厚度板材是一种节约型板材，在造船、汽车等行业应用十分广泛．机械设备用板材的自由振动问题具有较高的理论和实际研究价值，许多研究人员[1-3]已经对不均匀板的自由振动进行了多年的研究．由于板材自由振动的复杂性，一般需要进行数值计算来获得离散点的数值解[4-6]．本文提出了一种新的用于计算不均匀板自由振动问题的离散方法．为了验证理论上获得的板材振动特性数值解的准确性，应用激光全息干涉法对板材的振动特性进行了实验研究．本文的计算和试验方法可为不均匀板材的振动特性研究提供一定的参考价值．

1 板材自由振动特性的数值计算

本文采用离散的方法来研究机械设备用板材的振动特性，对板材单元进行离散时没有对板材的变形做任何的假设，克服了传统的Rayleigh-Ritz法中的形状函数的假设．板材自由振动频率的数值求解分成以下3个步骤．

第1步，用 函数建立基本微分方程．

用 函数建立基本微分方程，这些微分方程完全满足于整个板的任何单元．不均匀板的基本微分方程如下

第2步，获得离散点的数值解．

把微分方程转化成积分方程，采用数值积分，获得离散点的数值解．方程 (1)在点 (i,j)的离散结果如下式中：系数的表达式,详见参考文献 [1]．

第3步，应用格林公式获得板材自由振动振幅和特征方程．

利用数值积分和无量纲方程，我们可以得到变厚板的自由振动的特征方程 (4)．

通过式 (4)的分析，可以看出，计算板材的振动频率时，用到的参数只是板的边界上的未知量，而与板中间单元的未知量无关，这样大大减少了未知数的个数．

2 板材自由振动特性实验研究

2.1 实验装置

将装有应变仪的试样固定在夹具上，使其形成悬臂梁的边界条件,并用发声器发出声音．应变仪的最大输出振荡频率被视为共振频率．使用平均时间法，获取在感光板上形成的全息图，以达到获得这些共振图形的目的[7-8]．实验装置如图1所示．

2.2 实验原理

全息摄影的特性是记录光波的相位和振幅．激光光束被分光镜分割成基准光束和物体光束后产生干涉波形，波形被全息相纸记录．如果再用同样波长的基准光束照射全息图一次，则显示最初的物体光束[7,9]．实验原理如图2所示．

图1 激光全息干涉仪Fig.1 Laser holography instrument

2.3 实验准备

本文分别对均匀厚度板材、非均匀厚度板材和带有缺陷板材的振动特性进行了实验验证．各种板材的选择如下．

2.3.1 均匀厚度板材

实验用铝合金板材的长度和宽度为90mm，厚度为1 mm．

2.3.2 非均匀厚度板材

实验用两种非均匀厚度板材的形状如图3所示．

2.3.3 带有缺陷的板材

实验用有缺陷板尺寸和性能如表1．有缺陷板的形状和尺寸如图4所示，缺陷位于板的中间．

图2 全息原理Fig.2 Principleof hologram

图3 非均匀厚度板材（孔用于安装）(单位mm)Fig.3 Specimen with non-uniform thickness(holesused for fixing)

图4 带有缺陷板Fig.4 A platewith adefect

表1 带有缺陷板材的尺寸及性能Tab.1 Characteristics of the specimen of plates with a hole defect

3 实验结果与数值计算结果对比

3.1 均匀厚度板材

通过全息干涉法获得各向同性的均匀厚度悬臂板的振动频率和节点图如图5所示．其中上面图像为实验得到的频率值，下面为数值解的频率值．

3.2 非均匀厚度板材

图6和7为板A和B在5阶振动模式下的节点模型图，其中左侧为数值解，右侧为实验值．

3.3 带有缺陷的板材

带有缺陷A的振动频率如图8所示．通过图5至图8可以看出，三类板材的数值解与实验得到的振动图形基本一致．均匀厚度板材所有振动图形线对称于垂直坐标轴．非均匀厚度板材的振动图形线不对称于垂直坐标轴，获得的是倾斜的振动图形．

图5 均匀厚度板材节点图Fig.5 Nodal patternsfor plateswith uniform thickness(upper:experimental;lower:analytical)

图6 板A的数值计算与实验节点振型的比照图Fig.6 Comparison of nodal patternsof analytic and experimental resultsof plate A

图7 板B数值解与实验节点图Fig.7 Comparison of nodal patternsof analytical and experimental resultsof plate B

图8 缺陷A板的数值解和实验振动频率值的比较图Fig.8 Vibration frequenciesof analytical and experimental results(defect-A)

4 结论

本文就各向同性均匀厚度、非均匀厚度和带有缺陷板材的自由振动进行了数值计算和实验研究．数值计算结果与实验结果相比较具有很高的一致性．其比较的结果表明本文提出的数值计算方法可以得到很好的收敛性和满意的精度．本文获得的实验结果对不均匀板材自由振动频率测量具有足够的精度．

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