矩阵代数的极大零乘子代数

2012-09-17胡小涛王国贤

哈尔滨师范大学自然科学学报 2012年5期

胡小涛，王国贤

(1.哈尔滨师范大学;2.黑河学院)

1 有关概念及主要结果

约定基域F是特征0代数闭域.为叙述方便，给出以下几个定义.设任一n阶矩阵A=(aij)，称(i，j)为元素aij所在的位置，定义

(i，j)＜(k，l)⇔i=k且j＜l;或者i＜k.于是A的n2个位置构成了字典序.在这个字典序下，称矩阵A中第一个非零元出现的位置(i，j)为A的水平，记为Lev(A)=(i，j)，称i为矩阵A的高度，记为ht(A).设V是矩阵代数Mn(F)的任意子空间，Lev(V)=min{Lev(A)|A∈V}，ht={ht(A)|A∈V}.约定Lev(O)=(∞，∞)，ht(0)=∞，其中O为零矩阵或零空间.如果Lev(A)=(k，l)且第k行为(0，…，0，1，0，…0)，那么称A是一个广义矩阵单位，此时将A记为Ukl，设M(n，F)为所有n阶矩阵构成的向量空间，n(n，F)为所有严格上三角的n阶矩阵构成的向量空间.

记

现将主要结果叙述如下，其证明将在下一节中给出:

定理1.1 设μ是M(n，F)的具有最大维数的零乘子代数.那么dimμ=［n2/4］且

(1)若n=2m，则μ共轭于A2m;

(2)若n=2m+1，则μ共轭于B2m+1或B2'm.+1

2 相关引理

引理2.1n(n，F)在下面两种相似变换下都保持不变

(A)将第i列乘以非零数λ，同时将第i行乘以 1/λ;

(B)将第i列的λ倍加到第j列而第i列保持不变，同时将第j行的-λ倍加到第i行而第j行保持不变，这里约定i＜j.

引理2.2 设M是任意零乘子代数.若Lev(M)=(i，k1)，则存在广义矩阵单位Ui，k1，Ui，k2，…，Ui，kr以及水平大于(i，n)的子空间 l，使得M相似于

其中i＜k1＜k2＜…＜kr≤n且l中每一个矩阵X都满足:

(1)X的第kj行为零，这里1≤j≤r.

(2)如果TXT-1的第s行为零，那么X的第s行仍为零.

证明由于零乘子代数的任意元皆结合幂零，所以根据Jacobson弱闭集定理，可知零乘子代数可以同时严格上三角.于是不妨认为M⊆n(n，F).由于Lev(M)=(i，k1)，所以存在矩阵Ai，k1∈M，使得Lev(Ai，k1)=(i，k1)，其中i＜k1＜n应用引理2.1中两种相似变换使Ai，k1相似于一个广义矩阵单位Ai，k1且M相似于n(n，F)的一个新的零乘子代数，仍记为M.易见，M中每个矩阵都可写成aUi，k1+P的形式，其中a∈F且Lev(P)＞(i，k).设M1=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，k1)}.于是M=FUⅠ，k1⊕M1.如果Lev(M1)=(i，k2)，那么存在矩阵Ai，k2∈V1，使得Lev(Ai，k2)=(i，k2)，其中i＜k1＜k2≤n.应用引理2.1中两种相似变换使Ai，k2相似于一个广义矩阵单位Ui，k2变成了另一个与其相似的矩阵，但第i行没变，仍记为Ui，k1.这时，M中每个矩阵都可写成aUi，k1+bUi，k2+P的形式，其中a，b∈F，且Lev(P)＞(i，k2).设M2=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，k2)}.于是Ui，k1，Ui，k2，…，Ui，kr及Mr=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，n)}，使得M=FUi，k1⊕FUi，k2⊕ … ⊕FUi，kr⊕Mr.设X是Mr中任意一个矩阵，由于Lev(l)＞(i，n)，所以X的第i行为零，这里1≤j≤r.故对X第一个结论成立.易见，引理2.1中两种相似变换不改变矩阵的除第kj以外的零行，1≤j≤r.故对X的第二个结论成立.证毕

为了方便，以下将(1)称为广义矩阵单位分解，简称GMU分解

定理1.1的证明由引理2.2，可得下列GMU分解: