一类具有Alee效应捕食-食饵系统的动力学性质分析*

任 悦，王金凤，王玉文

(哈尔滨师范大学)

0 引言

齐次环境中捕食-食饵系统的时空动力学行为可描述为一个非线性的抛物偏微分方程组:

其中H(X，T)，P(X，T)分别表示在T时刻和X位置时食饵和捕食者的密度，其中X∈Ω0⊆Rn是两物种的空间栖息地;算子Δ描述了物种的扩散;D1和D2表示物种的扩散系数;k表示食物的利用率.函数F(H)描述食饵的单位增长率，G(H)表示捕食者的反应功能函数，相应于捕食者的一种喜好和再生的能力;M(P)表示捕食者的死亡率.函数F(H)，G(H)，M(P)的形式在不同环境下可为不同的类型.

该节分析了当F(H)是Allee效应增长，反应功能G(H)为Holling型，捕食者的死亡率M(P)为线性的动力学行为:

其中A表示捕食者的最大捕获率，B表示的自饱和的食饵数量，M表示单位死亡率，而食饵的增长满足下述形式的Allee增长:

其中K是食饵的最大承载量，ω为最大单位增长率，H0表示Allee的效应强度，满足0＜H0＜K.利用新的变量和参数替换

可得到如下的反应扩散系统:

1 主要结果

定理1.1 令d，m，a，d1，d2＞0是Rn具有光滑边界的有界区域，则有:

(i)若u0(x)≥0，v0(x)≥0，那么(1)有唯一正解

证明 (i)定义f(u，v)=u2(1-u)-.在0，v≥0}内，fv≤0，gu≥0，因此(1)是混拟单调系统，令(u(x，t)，v(x，t))=(0，0)以及)，v(x，t))=(u*(t)，v*(t))， 其 中 (u*(t)，v*(t))是下面常微分方程组的唯一解;

u*=supu0(x)，v*=supΩv0(x)则(u(x，t)，v(x，t))=(0，0) 和=(u*(t)，v*(t))分别是(1)的下解和上解，这是因为

以及边界条件满足0≤u0(x)≤u*，0≤v0(x)≤v*，因此由上下解定理表明系统(1)有唯一定义的全局解(u(x，t)，v(x，t))且满足

进一步，强极大值原理保证了u(x，t)，v(x，t)＞结论(i)得证.

(ii)对所有的t＞0，u(x，t)≤u*(t)因为u*(t)是常微分系统(2)的解，且u*(t)→1，∀u*＞0从而对于任意的ε＞0，都存在T＞0，使得

由(3)是梯度系统，可知(3)的每条解轨道都收敛到稳态解us，由自治动力系统的渐近定理可得:当t→ ∞，(1)的解(u(x，t)，v(x，t))收敛于(us，0)，结论(ii)得证.

注 1.事实上(1)正解的全局存在性和有界性也可以由Hollis，Martin，Pierre的一般性结果可得，为了得到具体的界，对(1)构造了具体的上下解.

2.稳态方程(2)的基本性质将继续研究，一般，相对于(2)的抛物方程是双稳定的，具有两个局部稳定的稳态解u=0，u=1且存在余一维的流形M将u=0，u=1的吸引盆分开.［4-5］

［1］ Shi J P，Wang X F.On the Global Bifurcation for Quasilinear Elliptic Systemson Bounded Domains［J］.J Diff Equ，2009，246:2788–2812.

［2］ Allee W C.Animal Aggregations:A Study in General Sociology［M］.Chicago:Universityof Chicago Press，1931.

［3］ Courchamp F，Berec L，Gascoigne J.Allee Effects in Ecology and Conservation［M］.University of Chicago Press，2008.

［4］ Wang J F，Shi J P，Wei J J.Dynamics and Pattern Formations in A Fiffusive Predator-prey System with Strong Allee Effect［J］.J Diff Equ，2011，251.1276-1304.

［5］ Jiang J F，Shi J P.Bistability Dynamics in Some Structured Ecological Models，in“Spatial Ecology”［M］.Florida:CRC Press，2009.