基于Bayes理论的小子样维修性验证方法研究

李建伟，陈先有，赵小全，王 栋

(陆航驻景德镇地区军事代表室，江西景德镇 333002)

0 引言

维修性是现代装备的重要设计特性，是影响装备战斗力的重要因素。平均修复时间(MTTR)作为维修性的一个核心指标，其结果已成为衡量装备维修性工作好坏的重要依据［1］。维修性验证就是对装备的维修性指标值进行验证，要求在自然故障或模拟故障条件下，根据试验中得到的数据，统计计算维修性参数，进行判决，验证其维修性是否达到指标要求。

目前，国内对平均修复时间(MTTR)的验证采用的是 GJB2072－94中给出的三种经典验证方法［2］:(1)对数正态分布，对数方差已知时的验证方法;(2)分布未知，方差已知时的验证方法;(3)分布未知，方差未知时的验证方法。国军标中的方法是基于大样本的数理统计理论，试验费用高昂，研制周期长，不利于装备早日装备部队。基于Bayes理论的小子样维修性验证方法正是在这种需求下产生的。Bayes方法综合利用各种验前信息，结合少量的现场维修性试验信息，对装备维修性指标作出可信的评估，从而降低装备研制费用、缩短研制周期，促进新(改进)装备尽快定型并投入使用，最终实现飞机战斗力的提升［3］。

1 基于Bayes理论的小子样维修性验证方法

1.1 确定维修时间总体分布

总体分布是进行Bayes统计分析首先需要解决的问题。对于维修时间而言，它不是一个常数，而是以某种统计分布的形式存在的。在维修性分析中最常用的时间分布有正态分布、对数正态分布、指数分布和Γ分布。维修时间总体分布的确定方法是首先采用直方图法对获得的维修时间数据进行统计分析，判断所服从的分布模型，然后对分布模型的有效性进行检验。通常采用的检验方法是x2检验方法和K～S检验方法。x2检验方法只适用于大样本的情况，而K～S检验方法既适用于大样本，又适用于小子样情况，所以本文选用K～S检验方法进行检验。K～S检验方法是一种常用的检验方法，本文在此不作详细介绍，具体方法步骤可参考文献［4］。

1.2 验前分布的确定

在进行Bayes统计推断时，本文采用应用比较广泛的随机加权法确定验前分布。随机加权法(Bayes Bootstrap)是一种通过抽样获得统计量的方法，但该方法中的抽样是依据Dirichlet分布。实际应用和仿真计算表明:随机加权法较自助法有较高的精确度［5］。

运用随机加权法对该现场子样进行估计，步骤如下:

首先，抽取n－1独立且在［0，1］上服从均匀分布的样本u1，u2，…，un－1，按从小到大次序重新排列，记为u(1)，u(2)，…，u(n－1)，设u(0)=0，u(n)=1，令vi(j)=u(i)－u(i－1)，i=1，2，…，n，则(v1(j)，v2(j)，…，vn(j))的联合分布即为所求。

3)分布参数μ、σ2的估计分别为:

由第3步可知，μ(j)=－(j)，j=1，2…，N，据N个μ估计值计μ(j)，画出直方图，就得到随机加权法之下μ的验前密度π(μ)。

1.3 多源信息融合

由于收集的验前信息可能很多，需要将这些不同的验前分布合理客观的融合为一个综合验前分布，对于验前分布的融合，目前比较常用的加权融合方法有:基于专家信息的加权融合方法和基于可信度的加权融合方法［6］。但这两种方法都有一定缺陷，利用专家信息获得权重因子的方法主观性偏强，而基于可信度的加权方法在小子样情况下对验前信息的可信度的确定比较困难，在实际工程应用中很难实现。基于此，本文提出一种基于ML－II(第二类极大似然估计)的验前分布融合方法。

1)由验前分布πj(θ)得到的边缘分布为

2)由边缘分布m(x|πj)得到似然函数的表达式如下:

3)根据极大似然估计原理，L(X|πj)的值越大，则其所对应的验前分布πj(θ)在融合验前分布中所占的权重应该越大。于是得到融合权重的表达式如下:

4)由此得到融合验前分布为

1.4 小子样维修性验证

在确定了维修时间总体分布以及平均修复时间的验前分布之后，接下来就要讨论基于Bayes理论的平均修复时间验证方法—基于验后似然比的验证方法。基于验后似然比的验证方法是通过计算验后似然比得到判决规则，依据给定的两类错误确定现场试验样本量。

设X～N(θ，σ2)，其中 σ2已知，或由以往资料得到其适当精度的估计值;θ为总体分布参数。通过分析计算得到θ的验前分布为正态分布N(μ，v2)，其中μ、v2为已知的θ的验前均值和方差。按合同给出平均修复时间MTTR的指标值θ0，承制方风险α和订购方风险β。可以通过如下方法对平均修复时间进行验证，作如下假设:

其中λ为检出比，由承制方和订购方商定。

1)检验判据

首先计算两种假设的验前概率比:

由Bayes公式及(7)可计算两种假设的验后似然比为:

也即

当式(9)成立时，备选假设H1成立的概率大于原假设H0成立的概率，此时拒绝原假设，认为平均修复时间MTTR不符合要求。否则，接受原假设，认为平均修复时间符合要求。

2)样本量的确定

其中P0、P1分别为假设H0、H1成立的验前概率，由于θ的验前分布为正态分布N(μ，v2)，故

由α和β两关系式联合求解可得最小验证样本量:

从而有

不等式右边正是经典方法下所需的试验样本量。故由上述分析可知，由于综合了验前信息，使得现场样本量有所减少，这充分体现了Bayes方法的优越性。

2 算例

下面结合某装备系统的维修时间数据，利用本文研究的方法进行小子样维修性验证，已知接受值μ0=45，μ1=70，α =0.05，β =0.05。假设以下三组数据都经过维修时间数据的预处理，验前信息与现场试验信息通过一致性检验。

1)历史维修时间数据:240，150，110，60，50，40，40，40，35，30，30，30，30，30，30，20(min)。

2)相似系统的维修时间数据:200，140，100，60，48，45，45，40，35，35，30，30，20(min)。

3)现场维修时间数据:60，120，45，30，30，20，40，40，35，60，35，20，60，30(min)。

2.1 确定维修时间总体分布

1)作出历史维修时间分布模型的直方图

图1 历史数据分布直方图

通过直方图可以初步确认维修时间服从对数正态分布，下面采用K～S检验方法对该模型的有效性进行检验。

2)K～S检验

将历史数据取对数从小到大排列(重复数据合并为1个)，各次序统计量对应的频数为ni，计算过程见表1:

表1 K～S检验计算表

从表1中可以得出=max(di)=0.2679，如果取显著性水平α=0.05，查柯尔莫哥洛夫检验临界值表，可得到D0.05(16)=0.32733，由＜D0.05(14)，接受原假设，认为X服从正态分布，即维修时间Y服从对数正态分布。

2.2 验前分布的确定与融合

由于总体分布服从对数正态分布，所以把维修时间的对数作为研究对象，对每组数据的对数采用随机加权方法确认其验前分布，然后采用前面介绍的基于ML－II的验前分布融合方法进行融合。

对第一组验前信息采用随机加权方法来确定其验前分布，利用随机加权法对第一组验前数据(已取对数)的均值进行3000次仿真。仿真结果如图2所示:

通过仿真拟合，由Bayes Bootstrap方法计算第一组验前分布为 π1(θ)～N(3.8219，0.16432)。

同样用随机加权法对第二组验前分布进行确定，计算结果为 π2(θ)～N(3.9289，0.16832)。

所以由式(5)得到 ε1=0.76，ε2=0.24，再由式(6)得到 π(θ)～N(3.8476，0.13122)。

2.3 小子样维修性验证

由Bayes方法可知所需的样本量可由下式确定:

其中P0、P1分别为假设H0、H1成立的验前概率，标准差σ由历史数据估计为=0.477，由于θ的验前分布为 π(θ)～N(3.8476，0.13122)，故

由于合同给出的指标值μ0=45，则θ0=lnμ0－σ2=3.6929，同理可得 θ1=4.1314，λ =，代入计算得到样本量n=3.7192，向上取整为4，故现场需要做4次试验。判决规则为，从现场数据中按照样本分配方法抽取4个样本，若这4个样本的对数均值:

则认为该系统不符合维修性要求而拒绝，否则接受。

若依据国军标的方法，至少需要30个现场样本，可见样本量大大减少了。

3 结束语

维修性验证的经典统计方法由于所需的试验样本量太大，难以满足实际工程需要。本文提出了一种小子样维修性验证方法，重点对基于Bayes理论的维修性验证方法进行了探索和研究。并通过实例分析，证明了该方法可以大大减少现场试验样本量，从而降低了试验费用，缩短了试验周期，能使装备早日形成战斗力。

［1］于永利，郝建平，杜晓明，等.维修性工程理论与方法［M］.北京:国防工业出版社，2007，6.

［2］GJB 2072－94.维修性试验与评定［S］.

［3］赵亮，李积源.基于Bayes理论的小子样维修性试验与评定研究［J］.舰船电子工程，2006，26(1):113～117.

［4］张玉柱，胡自伟，曹世民，等.维修性验证试验与评定统计原理［M］.北京:国防工业出版社，2006，5.

［5］张守玉，封伟书.基于随机加权法的装备平均维修时间验证研究［J］.装备指挥技术学院学报，2009，20(3):100－103.

［6］冯静，周经伦，孙权.Bayes分析中多源验前信息融合的 ML －II方法［J］.数学的实践与认识，2006，36(6):142－145.