一种含潜伏期的疾病模型的动力学性态

张 珍，孟献青

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

一种含潜伏期的疾病模型的动力学性态

张 珍，孟献青

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

文章研究了一类具有脉冲接种且发病含有潜伏期的传染病模型的动力学性态。探讨了疾病的可控性，并且证明了该系统无病周期解的局部稳定性以及全局渐近稳定性。当基本再生数小于1时，上面的结论可以成立。

传染病；基本再生数；稳定性

传染病的预防一直是我们关心的问题，而动力学系统的研究对疾病的控制提供了理论依据。通过对数学模型的研究来显示疾病的发展过程，预测疾病的发展趋势，分析疾病的流行原因，寻求对其控制的最优策略，为防治疾病做出相当贡献。关于在固定时刻给人群接种疫苗的研究，已经做了很多工作[1-5]。考虑到一些疾病的发病过程往往含有潜伏期，所以建立了下面的模型：

其中，S（t）、E（t）、I（t）、R（t）分别代表t时刻易感者、潜伏者、染病者和恢复者的数量，β1和β2分别表示S类与E类、I类的有效接触率，1/γ表示潜伏期，k是恢复率系数，A是常数移民数，d是自然死亡率系数，α是因病死亡率系数。

1 无病周期解的存在性

当系统满足E（t）=0，I（t）=0时，S（t）是与脉冲周期相同的周期函数，并且此时求得无病周期解。当t0=nτ＜t≤（n+1）τ时，S（t）满足下面的方程：

意常数。

记初始条件S（nτ+）=Sn，可得：

且不动点S*局部稳定，所以数列Sn收敛于S*。因此，易感者数量S（t）会收敛于一个周期解。在t0=nτ＜t≤（n+1）τ的无病周期解为：

同理，计算得到

所以此类含潜伏期的模型存在无病周期解

2 无病周期解的稳定性

2.1 局部稳定性

给无病周期解加以小扰动，即可以假定S（t）= ˜S（t）+s（t）、E（t）=e（t）、I（t）=i（t），则系统可化为：

显然此式存在零解（0，0，0），并且后两个式子是线性ODE方程，其Floquet矩阵及特征值λ1，λ2依赖于参数p，d，A，τ，γ，α，k和β1，β2，并且只有参数满足

才能保证无病周期解的局部稳定性。当t=（n+1）τ+，计算得到

成了无病周期解局部稳定性证明。通过数值仿真，描绘出这类发病含潜伏期的疾病的基本再生数是

2.2 全局渐近稳定性

无病周期解全局渐近稳定的充分条件是：

特征值。而S（t），E（t），I（t）均为正，所以

S（t）≤X（t），X（t）→˜S（t）。对于任意小正数ε，存在T＞0，当t＞T时，有

S（t）≤˜S（t），

再考虑原系统的第二，三个方程。将不等式S（t）≤X（t）代入，得到下面的不等式方程组

E≤F，I≤L。那么，当E，L→0+，推得E，I→0+。当t→∞，S′≤A-β1SI+β2SE-dS，S（t）→S˜（t）。综合上述证明，可以判定下面结论（S（t），E（t），I（t），R（t））→（˜S（t），0，0，˜R（t））。

3 结论

通过一系列的推导，我们最终从理论上解决了这类发病含有潜伏的传染病的发病规律及可控性。因为模型本身存在有无病周期解，并且当基本再生数控制到小于1时，无病周期解局部稳定并且最终全局渐近稳定。

[1]靳祯，马知恩，原三领.总人口在变化的SIR流行病模型[J].工程数学学报，2003，20（3）：93-98.

[2]张珍，靳祯.一类带脉冲接种和脉冲剔除的SIR传染病模型的稳定性态[J].太原师范学院学报，2006，5（6）：8-10.

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Stability P roperties in a SEIR E pidem ic M odel

ZHANG Zhen，MENG Xian-qing
（School ofMathematics and Computer Science，ShanxiDatong University，Datong Shanxi，037009）

A SEIR epidemic modelwith pulse vaccination is considered in this paper.By using the Floquet theory we prove the infection-free periodic solution is local stable，and by impulsive differential inequality we show the infection-free periodic solution is also globally asymptotically stable.

e pidemic；t he basic production；s tability〔责任编辑 高海〕

O175

A

1674-0874（2012）03-0008-02

2011-11-18

山西省高校研究开发项目［20101109］；山西大同大学校级科研项目［2009-Y-15］

张珍（1980-），女，山西大同人，硕士，助教，研究方向：生物数学。