单毛细管中卡森流体的分形分析

员美娟，郑 伟

（1.武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室，湖北武汉，430081；2.中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室，湖北武汉，430077）

单毛细管中卡森流体的分形分析

员美娟1，郑 伟2

（1.武汉科技大学冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室，湖北武汉，430081；2.中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室，湖北武汉，430077）

研究非牛顿流体类卡森流体在单毛细管中的流动特性。根据弯曲毛细管的分形特征，推导该流体在单毛细管中的流量、流速、启动压力梯度和有效渗透率的分形解析解，所得分形模型将卡森流体的流动特性与毛细管的结构参数有机联系起来。

分形；毛细管；卡森流体

卡森流体是一种典型的具有屈服应力值的非牛顿流体，某些非牛顿流体如血液、巧克力、黄原胶溶液、含蜡原油等，其流动行为都呈现出卡森流动特性，这些流体被称为卡森流体。

自然界中的多孔介质微结构服从分形几何规律，且分形几何理论已被证实是分析多孔介质的强有力工具［1－7］，因此可以用分形理论来研究多孔介质中卡森流体的流动特性。流体在多孔介质中流动时，其流动的通道不可能完全是直线性的，可能是弯弯曲曲的，这种弯曲通道也可以用分形形式表示。文献［3］～文献［5］利用分形毛细管模型研究了几种非牛顿流体的流动特性。本文在考虑实际弯曲毛细管的分形特性基础上，研究卡森流体在单毛细管中的流动特性，以得到不含经验常数的分形表达式。

1 卡森流体在单毛细管中流动的分形模型

1.1 流量

卡森流体在单根毛细管中流量q的方程为［6］

流体流动的弯曲毛细管通道分形幂规律为［7］

式中：Lt为弯曲毛细管通道的实际长度，Lt≥L0；DT为毛细管的迂曲度分形维数，1＜DT＜2。

考虑到弯曲流线的分形特征，采用毛细管的实际长度Lt，式（1）可改写为

式（3）中，取τ0＝0可得单毛细管中牛顿流体的流量表达式为

式（4）中，当DT＝1时，方程可简化为直管中牛顿流体的流量表达式：

式（3）和式（4）给出了单毛细管中卡森流体和牛顿流体流量方程的分形表达式，可以看出流量是流体特性参数、毛细管结构参数和毛细管两端压降的函数。

1.2 流速

由式（3）可得单毛细管中卡森流体流速ν的表达式：

式（6）中，取τ0＝0可得单毛细管中牛顿流体的流速表达式：

式（7）中，当DT＝1时，方程可简化为直管中牛顿流体的流速表达式：

1.3 启动压力梯度

当式（6）中流速ν＝0时，可以得到单毛细管中卡森流体的启动压力梯度λ为

由式（9）中可以看出，卡森流体的启动压力梯度不仅与流体的屈服应力τ0有关，而且与毛细管的结构参数R、L0、DT有关。当τ0＝0时，卡森流体简化为牛顿流体，所以牛顿流体的启动压力梯度为0。

1.4 有效渗透率

卡森流体的本构方程［8］为

式中：τ为切应力；γ·为剪切速率。

当τ0＝0时，卡森模型就简化成牛顿模型。

由式（10）可得单毛细管中卡森流体的表观黏度μa为

管壁处的切应力τw为

结合式（6）和式（11）～式（13）可得单毛细管中卡森流体的有效渗透率ke为

式（14）中，取τ0＝0可得单毛细管中牛顿流体的有效渗透率为

由式（15）可以看出，卡森流体的有效渗透率是与流体特性相关的，而牛顿流体的有效渗透率只与毛细管的结构参数有关，与流体性质无关。

2 结语

本文考虑到弯曲毛细管的分形特性，研究了卡森非牛顿流体在单毛细管中的流动特性，给出了该流体在单毛细管中的流量、流速、启动压力梯度和有效渗透率的分形解析解，模型中的每一个参数都具有明确的物理意义，它将卡森流体的流动特性与毛细管的结构参数有机联系起来，所得分形模型对深刻理解卡森等非牛顿流体在天然随机多孔介质内流动的物理机理有一定作用。

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［8］Casson N.Rheology of disperse systems［M］.London：Pergamon Press，1959：84.

Fractal analysis of Casson fluid flow in a capillary

Yun Meijuan1，Zheng Wei2
（1.Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China；2.State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics，Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China）

In order to study the flow characteristics of Casson non－Newtonian fluid in a single capillary，fractal models for the flow rate，velocity，starting pressure gradient and effective permeability of Casson fluid in a capillary are proposed on the basis of the fractal properties of tortuous capillary.The proposed models relate the properties of Casson fluid to the structural parameters of fractal capillary.

fractal；capillary；Casson fluid

O357.3

A

1674－3644（2012）03－0229－03

［责任编辑 郑淑芳］

2011－12－30

西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室开放基金资助项目（PLN1113）；武汉科技大学绿色制造与节能减排科技研究中心开放基金资助项目（B1219）.

员美娟（1980－），女，武汉科技大学副教授，博士.E－mail：yunmeijuanwei＠yahoo.com.cn