含间隙铰链并联机构的动力学分析

陈江义，郝雪清，虞启辉

(1.郑州大学机械工程学院，河南郑州450001;2.北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京100191)

0 引言

以Stewart平台为代表的六自由度并联机构已得到了广泛的研究，但是在许多场合应用的并联机构只需有部分自由度，如2、3、4或5自由度就可以满足使用要求，这一类机构称为少自由度并联机构.少自由度并联机构由于驱动元件少、解耦方便、控制简单、结构紧凑而有较高的实用价值，逐渐成为研究的热点.目前，国内外关于少自由度并联机构的研究和应用正日益深入，许多研究成果已经用于生产和科研中，笔者讨论的3-RRRT机构就是其中的一种［1］.另外，机构由于安装、制造误差及运行过程中的正常磨损，会使运动副间产生间隙，导致运动副元素之间可能会发生猛烈冲击和碰撞，增加构件的动应力，造成杆件弹性变形增大、磨损加剧，产生噪声和振动，效率降低.针对机构的间隙问题，Bauchau等给出了一种柔性多体系统中典型间隙铰链的运动学描述方法［2］;王华杰运用ADAMS软件分析了含间隙平面曲柄摇杆机构的动力学［3］;Zhao等人讨论了铰链间隙的大小对空间串联机器人动力学性能的影响［4］.上述工作虽然很有意义，然而目前关于铰链间隙对并联机构动力学性能的讨论还不多，笔者基于ADAMS软件，分析3-RRRT并联机构中铰链在含间隙情况下的动力学性能.

1 含间隙铰链的动力学模型

1.1 非线性弹簧阻尼接触力模型

如图1所示，r1、r2分别表示套筒和销轴的半径，其差为间隙c，即c=r1-r2;分别为套筒和销轴的位置向量，则偏心向量为exy=，撞入深度为轴和套筒的运动接触条件为δ≥0.

在做间隙机构动力学特性分析时，需要计算接触力.为了计算销轴与套筒的接触力，需要建立一个能表示碰撞速度、两碰撞体的材料特性、接触时表面特征的分析模型.这里运用赫兹接触模型，考虑阻尼产生的能量损失来建立接触力模型［5］，

式中:Fk为弹性力;Fd为能量损耗;K为刚度因子;D为阻尼系数.由于是金属接触，力指数n通常取值为 1.5［6］.

半径为r1、r2的两个圆内接触，刚度系数定义为

材料参数 σ1、σ2定义2)，式中vi为材料的泊松系数;Ei为材料的弹性模量.阻尼系数D表示为D=ηδn，其中阻尼因子

图1 含间隙的铰链示意图Fig.1 Revolute joints with clearance

将式(3)代入式(1)中得到考虑阻尼的法向接触力为

1.2 修正的库仑摩擦力模型

通常描述的摩擦力大小是两物体的正压力与摩擦系数的乘积，方向是相对运动趋势反方向的库仑摩擦力，它在描述动摩擦时比较准确.在两物体由静摩擦到动摩擦转变的过程中，只是用简单的一个阶跃函数来表示滑动速度和摩擦系数的关系，因此它对静摩擦的描述是不准确的.ADAMS中描述摩擦力采用了修正的摩擦力模型，如图2所示.它考虑了静摩擦、库仑摩擦和黏滞摩擦，弥补了库仑摩擦不能准确描述静摩擦到动摩擦过程中摩擦力的情况.

模型中的参数:

式中:V表示两物体在接触点的相对滑动速度;μs为静摩擦系数;μd为滑动摩擦系数;Vs为最大静摩擦系数时的相对滑动速度;Vd为最大动摩擦系数时的相对滑动速度.

图2 相对滑动速度与摩擦系数的关系图Fig.2 Relations of slip velocity and friction coefficient

3.含铰链间隙3-RRRT并联机构的动力学分析

3.1 3-RRRT并联机构

图3所示为ADAMS环境下3-RRRT并联机构模型［1］，材料为钢，表1为钢的材料属性.这一机构由固定平台、3条支链和动平台组成.3条支链两两正交，每一条支链由一个移动副、3个铰链和2个杆件组成，且铰链轴线和移动副轴线平行.现在考虑支链中两手臂间铰链的间隙对机构系统性能的影响.为方便分析，在两手臂的连接部位用销轴和套筒联接，并将一个手臂与销轴固定，另一个手臂与套筒固定.在此机构中3个移动副为驱动副，匀速运动且速度为1 m/s.

图3 3-RRRT并联机构模型Fig.3 Model of 3-RRRT parallel mechanism

表1 钢的材料参数Tab.1 Material properties of steel

3.2 机构的动力学分析

根据含间隙铰链的动力学模型计算得到的参数并参考常用的参数，可以得到ADAMS中接触力模型所需要的参数，如表2所示.设仿真时间为0.2 s，步数为300步.

表2 ADAMS中接触力模型所需参数Tab.2 Parameters of contact model in ADAMS

3-RRRT并联机构在运动初始时销轴和套筒的形心距离为零，随着运动的进行和间隙的影响，销轴和套筒的形心就会作圆周运动并产生相应的碰撞.由图4可以看出，铰链间隙为0.2 mm和0.4 mm时移动平台形心加速度的变化规律几乎一致;但机构的接触力却大不相同，随着间隙的增大，接触频率增大，振幅也增大.但是无论间隙有多大，接触情况都是由剧烈振动向平稳状态过渡;并且间隙的存在对动平台的速度没有任何影响.

图4是考虑3-RRRT并联机构的任意一条支链上存在铰链间隙的情况.图5是考虑3-RRRT并联机构的3条支链上都存在铰链间隙的情况，且间隙均为0.2 mm.从图5中可以看到，当并联机构的3条支链上都存在铰链间隙时，动平台的加速度会在初始阶段有一个很大的冲击，然后就恢复为零;但机构的接触力不会很快恢复到零，而是经过往复接触才逐渐回复到平稳状态.

3 结论

从两方面对3-RRRT并联机构进行分析，一方面比较了机构任意一条支链存在不同间隙时动平台的系统性能，另一方面分析了机构3条支链都存在间隙时的性能.

(1)若机构中只有一条支链中存在铰链间隙，则间隙越大，接触频率越大，振幅也越大，但是无论间隙有多大，接触情况都是由剧烈振动到平稳状态过渡;并且间隙的存在对动平台的速度没有任何影响.

(2)通过对比机构中只有一条支链上存在铰链间隙和3条支链上都存在铰链间隙的情况，可以得出有间隙的铰链越多机构受到的接触力越大，冲击越大，机构的运动越容易受到影响.因此，在设计和分析并联机构时一定要考虑间隙的影响，并且在分析机构的动力学性能时一定要全面考虑，从整体出发.

［1］LANG Yen-ping，CHANG Lai-chi.Dynamic modeling and control of a 3k-DOF Cartesian parallel manipulator［J］.Mechatronics，2009，19(3):390-398.

［2］BAUCHAU O A，RODRIGUEZ J.Modeling of joints with clearance in flexible multibody systems［J］.International Journal of Solids and Structures，2002，39(1):41-63.

［3］王华杰.基于虚拟样机技术的含间隙转动铰建模与动力学仿真［J］.机械设计与制造，2010，30(11):64-67.

［4］ZHAO Yang，BAI Zheng-feng.Dynamics analysis of space robot manipulator with joint clearance［J］.Acta Astronautica，2010(68):1147-1155.

［5］SHIVASWAMY S.Modeling contact forces and energy dissipation during impact in multibody mechanical systems［D］.Wichita:Wichita State University，1997.

［6］SCHWAB A L，MEIJAARD J P，Meijers P.A comparison of revolute joint clearance models in the dynamic analysis of rigid and elastic mechanical systems［J］.Mechanism and Machine Theory，2002，37(9):895-913.

［7］FLORES P，AMBROSIO J A.Study on dynamics of mechanical systems including joints with clearance and lubrication［J］.Mechanism and Machine Theory，2006(41):247-261.