两种色散特异材料双层结构中的法诺共振机制

刘艳红，刘丽想，董丽娟，石云龙

（山西大同大学固体物理研究所，山西大同 037009）

两种色散特异材料双层结构中的法诺共振机制

刘艳红，刘丽想，董丽娟，石云龙

（山西大同大学固体物理研究所，山西大同 037009）

单负特异材料双层结构中，由于分离式的反射共振和宽带的强反射之间发生的法诺型干涉，在反射谱中出现了非对称法诺谱。当光斜入射到单负特异材料异质结时，分离式的反射共振发生在单负特异材料色散磁导率接近于零的频率点。通过解析和数值分析得到，法诺型反射的非对称因子与入射角是密切相关的。

单负特异材料；法诺共振；法诺因子

1 引言

近年来，法诺共振机制吸引了人们大量的关注，在原子、大体积固体和半导体异构体系的光谱中普遍存在。法诺线性不同于传统的对称共振曲线，其最初起源于原子的吸收谱，原子中的各种电子组态分为分立能态和连续能态，正是这种连续态与分立态间的相互作用导致其吸收谱呈现一个不对称的峰形［1］。利用子能带间跃迁的法诺干涉可以实现隧穿透明［2，3］。由于法诺共振原理图像比较简单，所以可以将其拓展到其它许多系统中。如果将法诺共振类比到光物理中，法诺型共振其实就是由一对竞争的光通道之间的量子力学共振或干涉所产生的一种光谱失真效应，也就是共振吸收和共振发射同时共存的效应。它反映了离散的能量状态是怎样与其环境中的连续状态耦合在一起的。在非线性体系中，法诺干涉的可见度急剧增加，这可被用作关于离散状态和连续状态之间耦合程度的一种灵敏探针［4］，利用非线性法诺体系还可以实现的光开关，而且透射比可以达到100％［5］。因此研究各种系统的法诺共振是非常有意义的事情。

自从在原子系统中发现法诺共振后，人们在其它许多物理系统中也发现了法诺型非对称谱线。特别是，在经典系统法诺共振的实现引起了人们的关注。2002年，范三慧研究小组在一个二维光子晶体波导的一侧耦合一个微腔的系统中发现了非对称法诺共振的现象［6］。之后，许多种法诺型共振在各种各样的光子晶体体系被找到。此外，在一些纳米系统包括等离子体纳米结构［7］或者特异材料［8］中观察到法诺共振现象。例如，在周期性金属结构或者金属薄板上对称刻痕的系统中也存在法诺共振效应。

法诺线性不同于传统的对称共振曲线，是由于较窄的分立谱线和较宽的谱线或者是连续谱相互干涉相消和干涉相长同时存在的非对称谱线。美国物理学家Ugo Fano在他最初的文章中推导出法诺共振的简单表达式如下：

其中，Ω表示一个无量纲的频率，是由分立态的中心频率谱线宽度决定的。q表示法诺非对称参数，是由混合态的跃迁几率和连续态的跃迁几率之比决定的，它描述的是谱线非对称程度的大小。文献［9］中给出了法诺共振的谱线的形状，如图1所示。

图1 可能出现的法诺线性谱

本文研究特异材料中的另一种类型的法诺共振。色散型特异材料双层结构是由电单负特异材料（介电常数为负值，磁导率为正值）［10］和磁单负特异材料（介电常数为正值，磁导率为负值）［11］组成的。在可见光频段，金属在其等离子频率以下是天然的电单负特异材料［12］。对于磁单负特异材料，虽然自然界不存在，但是可以通过由非磁性的导体共振单元组成的平面结构来实现［13］。我们知道，对于电单负和磁单负单层结构，电磁波是不透的，其中电磁波只能以倏矢波的形式存在。然而，在2003年A.Alù课题组发现对于电单负和磁单负构成双层结构，当满足阻抗和相位匹配的条件，电磁波能够共振隧穿通过单负异质结［14］。2007年，该课题组又研究了介电常数接近于零的特异材料及等离子材料对电磁波的影响，他们给出的平面波反射系数（公式2）的表达式中可以看到，对于横磁（TM）极化平面波对于单层介电常数为零的板层结构是不透的，除非入射平面波精确正入射［15］。

其中，β＝sinθ，θi为平面波的入射角。

可见，对于色散型电单负和磁单负组成的双层结构，且工作频率段内包含磁单负特异材料的磁导率等于零的频率点时，电磁波的传输是非同寻常的。

2 法诺型非对称反射谱的计算

在图2中，给出了对于TE和TM模式的电磁波在电单负和磁单负双层结构中的法诺共振机制图，其中图2（a）中是电单负和磁单负双层结构图，图2（b）中给出了当电磁波入射到电单负和磁单负组成的双层结构时，可能发生的两种反射路径。

图2 法诺共振系统结构图

从图中可以看到，一种是发生在入射界面的反射，它是较宽带的反射，可以被看作是背景反射谱或者是连续谱；另一种是先入射到单负A然后经过两个单负的界面反射后，再经过入射面被反射出来，当频率为单负介质的介电常数或者磁导率接近于零的条件，且电磁波斜入射时这种反射谱是较窄带的反射可以被看作是分立谱。在下面的计算中我们令A层为电单负层，B层为磁单负层，且只考虑TE极化波为入射波。根据二相性原理，对于TM极化波我们只要将A层和B层分别换为磁单负层和电单负层即可的得到与TE极化波相似的结果，所以我们不做考虑。

假定电单负特异材料的相对介电常数为εENG和相对磁导率为μENG，厚度为a。磁单负特异材料的相对介电常数为εENG和相对磁导率为μENG，厚度为b。对于电单负材料的相对介电常数和磁单负材料的相对磁导率用德鲁得模型来表示，

其中ωe和ωm分别表示电和磁的等离子体频率，γ表示损耗系数。

首先通过传输矩阵的方法计算了单层单负材料的反射谱。在以下的计算中，我们选择两种单负材料的电场参数为，

这样由式（4）我们可以得到，当入射频率达到磁单负材料的磁等离子频率（300THz）时其色散磁导率接近于零（μENG→0）。在图3，中我们给出了入射角分别为π/18，2π/9和4π/9时的单层单负结构的反射谱。图3（a）中，可以看到对于电单负单层在频率范围为250THz时的反射谱是宽带的反射谱，这是因为电单负材料是不透明的不支持导模，所以其表面上光的发射可以被看作是强的连续反射谱。而对于磁单负单层结构在以上频率范围内的斜角度入射时的反射谱，见图3（b），是较窄带的。虽然正入射时在此等离子频率点光是没有反射的，但是，当光波斜入射到磁单负材料时由于其表面在此等离子频率点的全反射（由阻抗强烈不匹配引起），导致了反射谱中出现了非常尖锐的反射峰，这样，如果将磁单负的材料参数设计到除了等离子频率点以外的其它点的反射较小，就可得到品质因子Q很高的反射谱。高Q反射谱可以看作是分立谱，而且从图3（b）中还可以看到，Q的大小是与光波的入射角有关的。

图3 单层单负结构反射谱

当光波斜入射到由电单负和磁单负构成的双层结构时，首先会在电单负层的入射界面被部分反射，形成比较强的连续的反射谱。同时，穿透电单负层的光波将被近邻的磁单负层反射，在磁单负的相对磁导率接近于零的频率点，形成窄的分立的反射共振峰。下面具体计算这两种反射路径相互作用形成的法诺型非对称反射谱。选择的电单负和磁单负材料的厚度分别a＝120nm和b＝10nm。当磁单负的损耗系数较小时，可以认为，磁导率等于零的频率点为f＝ωm/2π＝300THz。

通过传输矩阵法推导分析由电单负和磁单负材料构成的双层结构的反系数的表达式。对于TE模式的光波经过单负双层结构的反射系数的表达式为：

其中，mi，j（i，j＝1，2）为光波经过双层单负材料的传输矩阵的矩阵元，

其中，A表示电单负材料，B表示磁单负材料。因为我们选择的单负材料的结构长度远小于波长，所以可以近似认为|kAz|a＝1，|kBz|b＝1，这样，可以围绕|kjz|dj进行以下的Taylor近似展开。

由于表达式比较冗长，所以将一些常量用简单的字母代替表示，假定电单负材料的相对介电常数为εA＝-α（α＞0），当磁单负材料的相对磁导率接近于零时，我们将式（6）近似写作：

这样，就可以计算反射率R为：

图4 TE模式的电单负和磁单负双层结构的不同入射角度的反射谱

通过公式（11），理解法诺散射的机制，在公式中的变量函数ζ（β）对应于表征法诺振动非对称程度的非对称参数q，而且随着平行方向传播常数β的增大，其数值是增加的。变量函数Ω（ω，β）也是β的函数。图4中从上到下的三幅图中，可以看到对称性反射谱的形状强烈依赖于入射角。在我们计算的入射角范围为π蛐18-4π蛐9内，随着入射角的增大β值的增大，导致了对称参数q值的增大，我们找到了与图1中对应的变化趋势，随着法诺因子的增加，反射谱由反射峰变化到对称反射谱的低谷。我们还计算了透射谱，见图5。

图5 TE模式的电单负和磁单负双层结构的不同入射角度的透射谱

从图5中可以看到，由于计算过程中选取了小的损耗系数所以得到了非对称的透射谱。最后，我们还计算了图4（a）中的反射谷的频率（299.5THz）处的电磁场强度的分布，假定入射场的强度为1，计算结果见图6。从图6中会发现，比较奇特的事情是在磁单负层内的局域的磁场的幅值相比较于入射场的近42倍。下面分析一下物理原因，对于TE模式的电磁波，磁感应强度的纵向分量Bz＝μHz，要满足边界条件中的连续性。当μ值趋于零时，使得界面两侧的材料的磁导率有严重的区别，所以磁场强度的z分量就会在边界处有巨大的跳跃变化。如果磁单负材料具有克尔型非线性，那么磁场强度z分量的很强的增大会很好的促进非线性效应，更有利于实现光学双稳态。

图6 在2.995THz点单负双层结构中的电磁场布图

3 结论

通过与原子系统的类比，我们证明了，在色散型单负特异材料双层结构中，由于分离式的反射共振和宽带的强反射之间发生的法诺型干涉，在反射谱中出现了非对称法诺谱。当光斜入射到单负特异材料异质结时，分离式的反射共振发生在单负特异材料色散磁导率接近于零的频率点。通过解析和数值分析得到，法诺型反射的非对称因子与入射角是密切相关的。在量子系统中，原子能级间的跃迁和退级是不能调节的，而在双层单负特异材料系统中，对应的参量可以通过改变结构常数和入射角进行系统的调节，从而方便地研究这些参量对法诺共振现象的影响。另外，当磁单负特异材料的磁导率趋于零时，在磁单负特异材料里的局域磁场振幅会增强到入射场的42倍。这样如果磁单负特异材料具有克尔型非线性，将会促进光学双稳态的实现，而且使得非线性法诺共振现象变得更容易。

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〔责任编辑 李海〕

Fano Resonances in a Bilayer Structure Composed of two Kinds of Dispersive Metamaterials

LIU Yan-hong，LIU Li-xiang，DONG Li-juan，SHI Yun-long
（Institute of Solid State Physics，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

We theoretically find that a bi-layer structure composed of two kinds ofdispersive metamaterials can possess an asymmetric reflection spectrum due toFano-type interference between a discrete reflection resonance and a broadbandstrong reflection.The discrete reflection resonance appears at the frequency around which the dispersive permeability is near to zero at oblique incidence.Based onanalytical and numerical analysis，the asymmetric factor in the Fano-type reflection is found to be linked with the angle of incidence.

single negative metamaterial；Fano resonance；Fano paremeter

O571.5

A

1674-0874（2012）05-0021-05

2012-05-25

山西省教育厅高校高科技项目［20111119］

刘艳红（1979-），女，山西文水人，博士，讲师，研究方向：凝聚态物理。