二次曲面方程的化简

张海涛

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

二次曲面方程的化简

张海涛

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

二次曲面的化简是解析几何中的重点内容，介绍了几种化简二次曲面方程的方法，并通过具体实例作出说明，最后比较各种方法的优缺点。

二次曲面；化简；标准

在解析几何中，二次曲面方程的形式比较复杂，这给我们解决问题带来了很大的不便，这时候就需要将方程先进行化简。许多学者对此进行了研究［1-7］。在文献［3］中，利用矩阵运算，结合向量的数量积和外积对二次曲面进行化简；在文献［5］中，利用主径面建立新的坐标平面进行化简。根据不同的条件给出了4种二次曲面方程化简的方法：配方法、坐标轴旋转变换、主径面、不变量，并总结了各种方法的优缺点。

定理1 适当选取坐标系，二次曲面方程总可化为下列五个简化方程中的一个：

（I）a11x2＋a22y2＋a33z2＋a0＝0，a11a22a33≠0；

（II）a11x2＋a22y2＋a3z＝0，a11a22a33≠0；

（III）a11x2＋a22y2＋a0＝0，a11a22≠0；

（IV）a11x2＋a2y＝0，a11a22≠0；

（V）a11x2＋a0＝0，a11≠0。

1 利用配方法化简

如果方程中含有x（y，z）的平方项，则先把含有x（y，z）的各项集中，按x（y，z）配成完全平方，然后按照此法对其它变量配方，直至都配成平方项。

例1 化简方程：4xy-2zx-2yz＋3z2＝0。

解 4xy-2zx-2yz＋3z2＝

相应的线性变换由

求得

优点：该方法简单易懂，易掌握，计算量小；

缺点：简化出的标准形不唯一。

2 利用坐标轴旋转变换化简

定理2 任意二次曲面方程至多经过三次平面上的坐标轴旋转变换和一次空间坐标轴平移变换总能化为二次曲面的标准方程。

例2 化简方程

解 因为a12≠0，则根据

则上式化为：

y′2＋2x′z′-9＝0，

作变换

则方程化简为：

x″2＋y″2-z″2-9＝0。

优点：方法简单易懂；

缺点：计算过程复杂，化出的标准形不唯一。

3 利用主径面化简

利用主径面将一个二次曲面化为标准形，首先根据二次曲面的主径面得出二次曲面的特征根，再根据特征根求出其主方向，进而得出它的共轭主径面，取主径面为新坐标作坐标变换，代入原方程得出二次曲面的标准形式。

例3 化简方程

x2＋y2＋5z2-6xy＋2yz-2xz-6x＋6y-6z＋10＝0。

解 因为I1＝7，I2＝0，I3＝-36，

所以曲面的特征方程为-λ3＋7λ2-36＝0，

即（λ-6）（λ-3）（λ+2）＝0，

所以二次曲面的特征根有三个λ＝6，3，-2。

特征根λ＝6的主方向由方程组

所以λ＝6的主方向为

则与它共轭的主径面为

-x＋y＋2z＝0。

同理，求得另外的主径面为：

x-y＋z＝0和x＋y＝0，

则其变换公式是：

解得

解得二次曲面的方程为

优点：该方法划出的标准形是唯一的，且计算过程中方程的特征根，主径面，及主方向的性质都容易求得；

缺点：计算量大，过程复杂，不容易掌握。

4 利用不变量化简

利用不变量化简二次曲面方程，即应用二次曲面（1）的四个不变量I1，I2，I3，I4与半不变量K1，K1来化简二次曲面（1）的方程，其方法与平面上的二次曲线的方程化简相似。

定理3 二次曲面（1）当且仅当

1°I3≠0，表示第I类曲面，简化方程为

2°I3＝0，I4≠0，表示第II类曲面，简化方程为

3°I3＝I4＝0，I2≠0，表示第III类曲面，简化方程为

4°I3＝I4＝I2＝0，K2≠0，表示第IV类曲面，简化方程为

5°I3＝I4＝I2＝K2＝0，表示第V类曲面，简化方程为

这里的λ1，λ2，λ3分别为二次曲面（1）的非零特征根。

例4 化简方程

x2＋y2＋z2-6x＋8y＋10z＋1＝0。

解 因为二次曲面

I1＝3，I2＝3，I3＝1，I4＝-49，I1I3＝3，

所以二次曲面为椭球面曲面的特征方程为

-λ3＋3λ2-3λ＋1＝0，

即（λ-1）3＝0，特征根为λ＝1，1，1，

所以椭球面的简化方程为

x2＋y2＋z2-49＝0。

优点：该方法简单易懂，计算容易，化简出的标准形唯一；

缺点：易混淆，用的时候必须熟记公式。

所介绍的二次曲面方程的化简方法各有条件、各具特色，因此各种类型所采用的技巧方法都不尽相同，我们必须根据其条件来判断方程化简所用的方法，进而找到解决问题的方法。当然，有些题目可以用多种方法来解决，此时，我们不可以死搬硬套，要从复杂中找简单，想要做到这一点，就必须在做题中不断总结、摸索、领悟各种方法的精髓，这样才能熟练而又灵活的掌握与运用各种化简二次曲面的方法。

［1］黄梅英.二次曲面的等差数列性质［J］.龙岩学院学报，2006，24（3）：105-106.

［2］李永利，桑改连.二次曲面与等差数列的一个性质［J］.数学通讯，2005，13：17-18.

［3］刘轼波.化简二次曲面方程的矩正阵方法［J］.高等数学研究，2012，15（2）：22-24.

［4］席高文.二次曲面方程分类与化简［J］.大学数学报，2005，21（5）：133-134.

［5］郑文晶.二次曲面的化简［J］.呼伦贝尔学院学报，2009，17（21）：156-160.

［6］王理凡.化简二次曲面方程的探究［J］.和田师范学报，2009，28（4）：201-202.

［7］宋述立.化二次曲面的标准方程［J］.枣庄师专学报，2000，17（2）：15-16.

Key uords：quadric surface；reduction；standard

〔责任编辑 高海〕

On Quadric Surface Equation of Reduction

ZHANG Hai-tao
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong university，Datong Shanxi，037009）

Quadric surface is important in analytic geometry.In this paper，the reduction method is given.The example explains the advantages and disadvantages of various methods.

O182.2

A

1674-0874（2012）05-0012-03

2012-03-15

张海涛（1974-），女，山西阳高人，硕士，副教授，研究方向：常微分方程。