基于标准方程的等步长双曲线插补算法*

方石银，潘应晖，郭 波，蔡 颂

(1.武夷学院电子工程系，福建武夷山 354300;2.湖南大学激光研究所，长沙 410082)

基于标准方程的等步长双曲线插补算法*

方石银1，2，潘应晖1，郭 波1，蔡 颂2

(1.武夷学院电子工程系，福建武夷山 354300;2.湖南大学激光研究所，长沙 410082)

双曲线插补算法是数控加工双曲线轮廓的关键技术。文章从双曲线的标准方程出发，推导出不同象限不同插补方向的插补递推公式，推理出选择插补递推公式的判定方法，提出插补循环结束判断方法和确保插补终点与理论轮廓终点重合的方法，研究出双曲线的插补流程图，得到了双曲线等步长数据采样插补算法，并对插补轮廓误差进行分析。实例证明该算法计算简单，插补精度高，轮廓步长稳定，满足数控加工需求。

插补算法;双曲线;轮廓步长

0 引言

插补技术是机床数控系统的核心技术，其算法的优劣直接决定了进给速度、加工精度等性能参数。现在的经济型和标准型数控系统一般只具有直线和圆弧插补功能，因此可以直接用直线插补指令和圆弧插补指令来加工直线轮廓和圆弧轮廓。但双曲线轮廓在航空、航天、模具等领域的应用越来越广泛。对于双曲线轮廓，只能用小段的直线或圆弧来拟合加工，如文献［1-6］所做的研究，这样不仅人为地增加了加工误差，而且大大提高了编程的难度和工作量。目前，国内外对双曲线轮廓的插补算法的研究还很少。文献［7］提出了一种基于圆心角分割的双曲线插补算法，但其中有三角函数运算且算法复杂，占用CPU时间多。文献［8-10］研究的是双曲线轮廓的逐点比较插补算法，并对传统的逐点比较插补算法进行改进，但只适合经济型数控系统。本文从双曲线的标准方程出发，研究一种算法简单、插补精度高、轮廓步长稳定的双曲线数据采样插补算法，适合标准型或全功能型的数控系统。

1 基本原理

标准型数控系统普遍采用的是数据采样插补算法中的时间分割法［11-12］。其基本原理是根据编程的进给速度，将轮廓曲线分割为插补周期的进给段，即轮廓步长L。在每个插补周期中，执行一次插补程序，计算出下一插补周期各坐标轴进给量Δx或Δy，从而计算出下一个插补点的坐标值。轮廓步长L与进给速度指令F和插补周期T有关，即:

当数控系统的硬件结构和软件结构确定后，其插补周期是不变的，如果能保证插补过程中轮廓步长L稳定，那么就能保证加工过程中进给速度F的稳定。另外为了保证被加工零件的精度，每一个插补点应位于双曲线轮廓上。

2 插补算法

2.1 第一第四象限双曲线顺时针插补算法

图1所示为第一和第四象限的某一双曲线轮廓，轮廓关于X轴对称，与X轴交点为双曲线顶点，顶点到坐标原点的距离为其实半轴的长度a，其它形式的双曲线轮廓可以通过坐标平移和旋转得到图1所示的标准形式。假设其插补方向为顺时针，S(xs，ys)点为轮廓起点，E(xe，ye)点为轮廓终点，A(xi，yi)点为轮廓上某一插补点，B(xi+1，yi+1)点为A点之后的下一插补点，A、B两点之间的距离为一个轮廓步长L，从A点到B点X、Y轴走过的距离分别为x和y。

图1 第一第四象限双曲线轮廓顺时针插补示意图

双曲线的标准方程为:

对式(2)进行求导可得:

由于x和y是一个插补周期X、Y轴所走过的距离，其值非常小，因此可以用x和y来近似代替dx和dy，即:

由图1可知:

由式(4)和式(5)可以求得:

第一第四象限的双曲线轮廓顺时针插补时，y恒为正值，即y是单调递增的;x恒为正值。由于计算时用x和y近似代替了dx和dy，为了避免微小误差的累积造成插补点不位于双曲线轮廓上，因此不采用式(4)计算x，而是直接根据标准方程(2)计算x坐标。第一第四象限双曲线轮廓的顺时针插补递推公式为:

数控系统在作插补运算前，起始点坐标S(xs，ys)、a、b、L的值均为已知，根据递推式(7)就可以计算出插补过程中每一个插补点的坐标。由于算法是基于双曲线的基本方程，因此能保证每一个插补点位于双曲线轮廓上，保证了数控机床的加工精度;而且算法推导过程中使用了式(5)，能保证每一个插补周期所走过的轮廓步长L的稳定，从而保证了加工过程中进给速度的稳定。

2.2 第一第四象限双曲线逆时针插补算法

第一第四象限双曲线轮廓作逆时针插补时，y恒为负值，即y是单调递减的;x恒为正值。因此只要对(7)式稍作修改:

2.3 第二第三象限双曲线顺时针插补算法

图2所示为第二第三象限双曲线轮廓顺时针插补示意图，y恒为负值，即y是单调递减的;x恒为负值。因此其插补递推公式为:

图2 第二第三象限双曲线轮廓顺时针插补示意图

2.4 第二第三象限双曲线逆时针插补算法

第二第三象限双曲线轮廓作逆时针插补时，y恒为正值，即y是单调递增的;x恒为负值。因此其插补递推公式为:

2.5 插补递推公式的选择

从以上研究可以看出，插补运算时，必须根据双曲线所在象限和插补方向进行递推公式的选择，即利用一定的关系式进行判定。判定方法如下:

(1)xs＞0且ys＜ye，此时为第一第四象限的顺时针插补，采用递推式(7);

(2)xs＞0且ys＞ye，此时为第一第四象限的逆时针插补，采用递推式(8);

(3)xs＜0且ys＞ye，此时为第二第三象限的顺时针插补，采用递推式(9);

(4)xs＜0且ys＜ye，此时为第二第三象限的逆时针插补，采用递推式(10)。

2.6 终点判别

利用插补当前点与轮廓终点之间的距离来决定是否结束插补循环是一个即简单又可靠的方法。当插补点距离轮廓终点大于1个轮廓步长时继续插补循环，反之结束插补循环，即用下式进行插补循环是否结束的判别:

为了保证被加工零件的精度，插补终点应位于轮廓终点。但插补循环结束时，插补点到轮廓终点的距离小于或等于1个轮廓步长。为了提高终点精度，应该在插补循环结束后，从插补当前点直接走到轮廓终点，从而保证两点重合。

2.7 插补流程图

等步长双曲线轮廓的插补流程图如图3所示，流程图中进行了一些简单的数学处理，目的是为了减少插补过程中数控系统微处理器的计算量。

图3 等步长双曲线轮廓的插补流程图

3 轮廓误差分析

数据采样插补算法中，只有直线轮廓没有插补误差，其它类型的曲线都存在插补误差。双曲线轮廓在插补过程中，是以每一个插补周期内走一个轮廓步长L的弦线来逼近实际轮廓的，因此不可避免地会产生轮廓误差。由图1、图2和以上分析可知，在插补点过象限时曲线斜率产生突变，即一个轮廓步长的起点和终点分别位于两个不同的象限时，此时轮廓误差最大，尤其是两插补点的路径和X轴垂直时，如图4所示。h为双曲线插补最大轮廓误差，可知C点和D点坐标分别为(a+h，L/2)、(a+h，-L/2)。根据式(1)和式(2)可以得出:

图4 双曲线插补最大轮廓误差示意图

可以看出，双曲线插补最大轮廓误差h与插补周期T、编程进给速度F、双曲线实半轴长度a和虚半轴长度b有关。h随着T、F和a的增大而增大，随着b的增大而减小。设一数控系统的插补周期为8ms，被加工零件双曲线轮廓实半轴长度a为30mm、虚半轴长度b为40mm，根据式(12)计算得出加工速度F在4.9m/min以下，最大轮廓误差h小于1μm。由此可见，此算法的精度完全能满足加工需求。

4 计算实例

一双曲线，a=4mm，b=3mm，数控系统插补周期T=8ms，编程进给速度F=600mm/min，轮廓步长L=FT=0.08mm。插补起点(4.0552，-0.5000)，插补终点(4.4721，1.5000)，计算结果列于表1。

表1 双曲线插补过程

插补过程中，除了终点的前一插补点到终点外，轮廓步长稳定，偏差在±0.5%以内，基本上可以认为是等步长。用Matlab编程比较双曲线理论轮廓和实际插补轮廓，如图5所示，可以看出理论轮廓和实际插补轮廓重合，把此实例带入式(12)可得最大轮廓误差为0.36μm。

图5 双曲线理论轮廓和实际插补轮廓的比较

5 结束语

本文从双曲线的基本方程出发，推导出不同象限不同插补方向的插补递推公式，逻辑推理出选择插补递推公式的判定方法，提出一种简单的插补循环结束判断方法和确保插补终点与理论轮廓终点重合的方法，研究出双曲线的插补流程图，因此得到了一种等步长数据采样插补算法，并分析了该算法的轮廓误差。该算法在插补过程中能保持轮廓步长的稳定，插补点始终能位于双曲线轮廓上，并且在插补循环结束时能确保插补终点与轮廓终点重合，轮廓误差完全能满足数控加工需求。该算法的性能用实例进行了证明。因此该算法能保证加工过程中进给速度的稳定，插补精度高，能满足标准型或全功能型数控系统的双曲线轮廓加工需求。

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Equal Step Length Interpolation Algorithm of Hyperbola Based on the Standard Equation

FANG Shi-yin1，2，PAN Ying-hui1，GUO Bo1，CAI Song2
(1.Department of Electronic Engineering，Wuyi University，Wuyishan Fujian 354300，China;2.Laser Institute of Hunan University，Changsha 410082，China)

Interpolation algorithm of hyperbola is the pivotal technology of hyperbolic contour’s NC machining.Based on the hyperbolic standard equation，the interpolating recursion formulas of different quadrant and interpolating direct were deduced，the determinant method of choosing the interpolating recursion formulas was reasoned，the judging method of interpolating cycle and the method of the interpolating end-point coinciding with the contour’s end-point were put forward，the interpolating flow chart of hyperbola contour was researched，the equal step length interpolation algorithm of hyperbola was obtained，and the interpolating contour error was analyzed.An example testifies that the interpolation algorithm is simple，the interpolating precision is high，contour step lengths are steady，and so the interpolation algorithm is satisfied with NC machining.

interpolation algorithm;hyperbola;contour step length

TH165;TM383.6

A

1001-2265(2012)11-0039-04

2012-03-08;

2012-04-10

武夷学院青年教师专项科研基金资助项目(xq201016)

方石银(1980—)，男，安徽桐城人，武夷学院讲师，湖南大学博士研究生，主要研究方向为数控加工技术和激光加工技术，(E-mail)fshiyin@163.com。

(编辑 李秀敏)