土木工程系统辨识统计方法的现状与展望

李炜明， 董 莪，朱宏平

(1.武汉工业学院 土木工程与建筑学院，武汉 430023;2.华中科技大学 土木工程与力学学院，武汉 430074;3.长沙理工大学 桥梁工程湖南省普通高等学校重点实验室，长沙 410004)

Wilson在结构分析的权威著作中［1］，引用了如下不知名作者的阐述为序:“结构工程是这样一种艺术:使用材料，这些材料属性只能估算;建立真实的结构，这些真实的结构只能近似分析;来承受外力，这些力不能准确得知;以满足我们对公众安全职责的要求”。也就是说，结构工程至少存在材料、结构体系与荷载三重随机属性，难以对结构进行确定性的描述，需要探索与发展新的理论或者方法(而使结构工程不再只是一种“艺术”);这种探索与发展，虽受到国内外知名研究团队的持续关注(详见后文阐述)，但仍处于起步阶段。

另一方面，二十世纪九十年代以来，科学技术迅猛发展，学科交叉日益显著;其中，统计理论与方法备受关注，不仅融合到了工学、医学、农学等自然科学的多个学科，也与法律、历史、语言等社会科学的多个学科开始密切结合，并形成了统计物理、生物统计等重要学科分支前沿，已成为学科发展的重要趋势之一。对于土木工程这一传统学科，统计理论与方法的引入与应用，虽尚在起步但应极富潜力。

引入统计方法进行土木工程结构系统辨识的研究，在理论上有着内在的逻辑必然性。虽然机械、航空以及航天领域面向健康监测和损伤检测的系统辨识方法，为土木领域提供了良好的借鉴基础，不过土木工程具备自身的特点，在引入其他领域的辨识方法的过程中，存在诸多限制。如以某大型结构为例:

(1)内在的材料离散性:土木工程结构的混凝土、钢筋混凝土结构相对于钢结构而言，材料内部的非均匀性、各向异性、样本参数的个体间差异显著。

(2)结构体系的复杂性:大型土木工程结构，体系复杂，可能需要对千万级以上的自由度进行模拟或缩减，更需要在长期运营过程中，考虑材料、构件强度的衰减，结构功能的老化等问题［2］。

(3)外在因素的随机性:土木工程结构，处于一个开放的自然环境中，外在温度、湿度等环境因素不断变化［3－4］，偶然性激励的作用不可避免［5－6］。

因此，至少有4类问题，比较突出:

(1)海量数据有效信息的提取:现有大型桥梁的监测过程中，已采用上千个各类型的传感器，此过程中产生了海量数据，即使现有数据处理的计算硬件能满足要求，也难以从中即时提取出有效信息，用于系统辨识。

(2)结构及荷载不确定性:一般来说，由于材料属性的离散性、强度退化等原因，结构参数含有多重不确定性;同时，土木工程的荷载因为环境等因素的影响，也含有一定的不确定性［6－7］。

(3)基准数据的不完备:对于大型工程结构，可能存在的千万级别以上的自由度，因此即使使用上千个传感器，获取海量的数据，也可能存在基准数据不完备的情况［8］。

(4)模型误差的不可避免:因为土木工程内在的材料特性，外在的环境干扰的影响，使通常用于监测或检测的模型存在误差［9］，已有的模型修正暂不能很好解决此类问题。

因此，土木工程的系统辨识，亟需根据响应数据特点，引入、构造新的方法，对结构进行面向损伤检测与健康监测的系统辨识。

从工程意义来说，土木工程结构的安全直接关系到人民生命与国家财产的安全。比如法国戴高乐机场建成不到1年，2E候机楼发生屋顶坍塌。而我国基础设施投入巨大，结构健康监测的理论与实践仍处在上升发展阶段，开展引入统计方法的土木工程的系统辨识研究，能更好的保证结构物的安全运行，工程意义重大。

本文在前期工作基础上，将探讨土木工程系统辨识的定义，以及与传统健康监测与损伤检测的定义，分析了现有土木工程系统辨识中与统计方法相关的Bayesian统计、随机有限元、统计模式辨识、损伤特征辨识的统计描述及其他等五类研究;根据这些已有研究与土木工程系统辨识的特点，讨论了统计方法进一步的发展方向。

1 定义

系统可以定义为基于特定功能的对象的组合。系统的定义广泛应用于车辆［10］、飞机［11］、船舶等实体结构，也可以用于人类自身个体的描述，还可以用于社会、经济、管理等人文领域的抽象实体。系统的数学模型指基于系统本质的，各变量间关系的描述，即可以用来预测系统行为的数学描述。

土木工程中，系统被用来指结构的简化力学模型［12－13］，结构体系中的一部分［14］，单个的结构［15］(包括建筑结构、桥梁结构、钻井平台等)，也可以是耦合结构［16］(如桥梁－车辆作用体系)。

对于土木工程的系统辨识，通常指基于数据(结构试验或者工程测试)，建立数学模型的过程［13，17－18］。一般而言，结构数学模型的建立，较大程度依赖于对系统物理特性的了解:如果在经典力学体系中，研究物体的运动规律和力学性能，依据已知的牛顿力学定律、质量守恒定律、能量守恒定律等基本物理定律，结构系统模型为已知，那么其系统辨识的问题可以转化为系统参数辨识的问题。

Alvin［19］从理论背景、时频域辨识的方法、获取频响函数的方法、系统实现阶数、面向损伤辨识的系统辨识以及结论7个方面，对土木工程的系统辨识展开了论述，有一定的参考意义。

应该看到，土木工程结构由于内在材料的离散性、结构体系的复杂性与外在环境因素的随机性，往往确定性的结构模型不易获得。对此，本文中的土木工程的系统辨识，指基于结构试验，工程实测，数值计算等方式产生的数据，建立白箱(或灰箱，或黑箱)数学模型［20－23］，从而实现对系统参数的辨识以及系统响应的预测。

本文前期工作提出，土木工程系统辨识的统计方法，指基于结构响应的数量关系的计量及其分析，从定量认识总体现象(包括结构的激励输入与响应输出)的角度，基于统计理论与方法来收集、归类、分析、解释结构响应数据，探索系统输出数据中内在的数量规律性，由此对数据的本质进行描述与推断，从而实现系统辨识。

2 Bayesian统计

Bayesian统计理论起源于英国学者Bayes(1702－1761)，一篇由他人整理的于1763年发表的论文《论有关机遇问题的求解》。这篇论文中，提出了著名的Bayes公式和一种归纳推理的方法，并由其后的统计学家发展成Bayes学派，其核心是对统计中先验信息的利用。

Beck利用Laplace逼近，将后验密度函数近似为一个正态分布的函数，从而将Bayes统计方法引入了系统辨识领域。Vanik等［24－27］通过推导结构中子结构模型参数的边缘概率密度函数，来对损伤进行定性、定位以及定量，并通过一个10个自由度的剪切型框架结构进行了数值模拟，在2%的噪声干扰下实现了对5%损伤的辨识。并进一步研究了系统辨识对于损伤的实时监测，的框架结构的第5层实施了20%的刚度折减;将贝叶斯学习理论应用到了地震早期预警;运用 Monte Carlo方法，对多个不确定性参数输入下的10层结构，进行了模型修正。

对于 Bayesian 统计推断，Katafygiotis等［28－30］基于有限元模型修正，对一个二层铝质结构进行了25%刚度折减的损伤辨识;并基于环境激励下的时程响应，进行了模态参数的辨识。

同时，Beck 等［31－34］在 Bayesian 统计方法上，共同进行了不少研究。

Sohn［35－36］提出，通过比较不同损伤工况的相对可能性，来进行基于Bayesian方法的搜索，同时将Ritz向量引入了Bayesian统计理论框架，对一个三维的桁架模型与一个5层的框架模型进行了5%噪声条件下的10%刚度损伤的损伤辨识。

3 随机有限元

随机有限元从控制方程的获得来分，一般可以分为Taylor展开法随机有限元(TSFEM)、摄动法随机有限元(PSFEM)以及Nuemann展开Mento Carlo法随机有限元(NSFEM)。若以摄动法随机有限元为例:

Collins将有限元与摄动法结合，用统计的观点来分析特征值的问题，可以认为是将随机变量理论引用到动力学的开端;而Ricles和Kosmatka首次基于Collins的敏感性分析理论，通过质量与刚度的不确定性来对潜在的损伤区域进行定位，并对损伤大小进行评估。

有关随机有限元损伤辨识的工作可以认为始于Papadopoulos的论文及其后续工作:假设结构的质量、刚度、频率与振型服从正态分布，通过Mento Carlo模拟，计算出结构单元的概率密度函数，用于对单元的损伤概率进行计算。Papadopoulos认为，结构损伤引起特征值的摄动，继而影响结构的总体刚度矩阵与单元刚度矩阵，并通过一个3自由度的质量－弹簧系统与一个悬臂梁结构，验证了算法的有效性。Papadopoulos［37］的研究基于线性假定与正态分布的严密数学推导，对于简单结构的损伤定位适用性较好;不过，其在考虑模型误差的同时，忽略了测试的噪声误差。

Xia等［38－39］同时基于模型误差与测试噪声误差，通过2个阶段的模型修正，来进行统计损伤辨识，并通过一个悬臂梁与一个门式框架进行了验证;结果表明，通过引入特定置信水平，降低了误判的可能性;而且，即使不基于无损结构的数据样本，仍能在相对较低的置信水平下，对大多数损伤进行辨识，Hao等［40］结合神经网络对此展开了后续研究。

黄斌［41－42］提出了一种基于递推随机有限元的损伤辨识的统计模型，并与Monte Carlo模拟的结果进行了比较，从而验证了其递推随机有限元方法的有效性;并在2007年推广到框架及框架填充墙的统计损伤诊断。

现有方法中Taylor展开法、Monte Carlo模拟法计算量大，摄动法参数变化范围小。因此，对于实际工程的系统辨识，随机有限元法还有待于进一步研究。

4 统计模式辨识

美国Alamos国家实验室，以 Doebling、Farrar、Sohn为代表的研究者，10余年来，对统计方法在系统辨识中的研究进行了探索性的工作，这部分工作大致可以分为三个阶段。

第一阶段:Doebling［43－44］将统计方法用于环境激励下结构的模态测试及引入结构的柔度矩阵。

第二阶段:Farrar［45－48］开始提出统计模式辨识的概念，并引入无导师学习理论。在此基础上，Farrar及其团队引入模式识别中相关理论，正式提出了统计模式辨识(Statistical Pattern Recognition)的理论框架，具体包括4个步骤:

(1)运营状态评估(Operational evaluation):对结构系统状态进行辨识前的分析。

(2)数据采集、标准化以及整理(Data acquisition，normalization and cleansing):包括测试方案的确定，因环境因素产生的数据差异性［6］，误差数据的排除。

(3)特征提取及信息凝聚(Feature extraction and information condensation):提取数据中的特征并用来对系统的状态进行辨识［49］，信息凝聚主要指结构在服役周期内数据的压缩。

(4)基于特征描述的统计模式［47］(statistical model development for feature discrimination.):根据有无训练数据可以分为有导师学习方法与无导师学习方法，前者又可以分为分类分析与回归分析，后者可以分为对变异点或特征点的辨识。

Farrar作为基于结构振动的系统辨识的杰出研究者，所提出的统计模式辨识概念，有相当影响;不过其大部分继承了机器学习的理论框架，因此应用过程中对于土木工程普适性有待进一步提高。

第三个阶段为下节中以Sohn为代表进行的系列研究。

5 损伤辨识特征的统计描述

对上节中指出的Farrar提出的统计模式辨识的不足，Sohn与Farrar在后续工作中进行了大幅调整:将前3个步骤进行剥离，使其退化成基于振动方法的系统辨识的通用步骤，而将第4个步骤改写成“损伤辨识特征的统计描述”。

应该说，Sohn等［50］的后续论述，对于前3步的阐述可能合理:如将第2步调整成数据采集与信号处理，并进一步细分成激励方式、响应数据形式以及数据传输形式进行阐述。

同时，对于第4步分类，Sohn在有导师学习与无导师学习方法之外，增加了“其他概率分析”(Other Probability Analyses)一类统计辨识方法，使第4步的分类也趋于严密。

不过，在第4步的第2层次的分类中，Sohn将有导师学习理论论述为响应面分析、Fisher’s判别方法、神经网络、遗传算法、支持向量机5个子类，将无导师学习理论论述为统计过程控制、变异点辨识、神经网络、假设检验4个类，基本沿用学习理论中的有无导师分类方法，可能偏离了统计描述的框架。实质上，这样的论述，描述为“系统辨识的学习理论方法”更为合适。

6 其他方法

随着统计学的不断发展，传统方法不断更新，新的方法不断出现。其中，很多理论方法历时近百年，不断有新的应用(如统计过程控制)，也有很多理论方法，从数学上提出到统计学上应用，到各个学科广泛应用，刚过10年(如统计学习理论)。这部分研究尚处在起步阶段，相对离散，暂未形成相对趋势，可待后文继续研究。

7 展望

统计方法在土木工程系统辨识中的研究已有初步的成果;同时，这些成果也提出了新的研究点。以后三类统计方法为例，可能存在以下问题:

(1)引入其他领域的理论框架模型时，可能会拘泥于原有理论:如Farrar引入模式识别理论与Sohn引入机器学习理论的同时，未充分基于土木工程系统辨识的特点，其阐述重点在所引入理论中的2种分类标准;如果结合统计学习理论来描述，那么这种引入是对源理论的“过学习”，从而可能导致对土木工程系统辨识的“泛化”推广能力减弱。

(2)其他相关研究，相对离散，往往从土木工程系统辨识的一个具体问题出发，选取某一统计方法加以应用［24］;类似，如果结合统计学习理论来描述，那么这部分工作对相关理论系统的“欠学习”，也可能导致对土木工程系统辨识的“泛化”推广能力减弱。

如果结合系统辨识基本问题，土木工程结构系统辨识统计方法的下一步可能切入点有:

(1)随机输入与未知输入条件下的统计方法:现有随机输入条件下的结构振动分析，通常在结构的振动方程中加入随机参数来实现，而Taylor展开法、Monte Carlo模拟法计算量大，摄动法参数变化范围小，现有研究限于简单力学模型。进一步，对于土木工程，未知输入条件下的系统辨识，在传统方法上局限于通过迭代计算，使目标函数值小于设定阈值的方法［51］，对于土木工程的大型、复杂结构，计算量可能过大。因此，如何在随机输入与未知输入条件，引入统计理论方法，来提取输入条件的特征，来简化输入信息的特征，来判断未知输入条件的可能区间及带宽，是可以深入研究的一个方向。

(2)数据传输手段与传感器状态的统计方法:响应数据的无线传输对于土木工程意义重大［52］，而现有无线传输的方法，费用高，系统易受干扰，相对稳定性较差，有待于结合其他学科研究，引入统计方法，来降低无线传输成本，提高传输系统的鲁棒性［52－54］;同时，大型工程中，上千个传感器的工作状态显著影响监测系统的输入，如何使测试网络具备一定意义上的统计稳定性(如自动排除非正常工作状态下的传感器数据)，对监测系统的低成本的日常运行意义重大。

(3)系统辨识基准模型的统计方法:通常新建成工程结构需要将基准模型进行备份，以作为面向健康监测以及损伤检测的系统辨识的基准。对此，可以考虑采用统计方法来发展无导师学习理论，从而对无基准模型的已有结构进行系统辨识;同时，也可以通过统计方法，增强具备基准模型的结构的系统辨识在不同环境因素下辨识的稳定性。

(4)非线性及混沌系统辨识的统计方法:现有研究大部分未考虑混沌系统，多数基于线性假设，如系统响应中的振幅微小等;而土木工程结构从材料属性到边界条件，从外部激励到系统响应，从损伤的发生到发展，都是一个非线性的过程，更有可能存在混沌的特性。如何引入统计方法，从线性系统向非线性系统以至混沌系统进行拓展［55－56］，挖掘其中的统计特征，是一个较为长期的过程。

此外，在土木工程系统辨识中，可能会存在以下问题:采用简单的分组标志来描述复杂的数据结构，采用确定性的知识来描述不确定性的系统，采用定性的分析来判断定量的结构参数变化，采用无限样本学习理论来预测有限样本总体，采用通用坐标来描述系统局部特征。

对此，本文前期在2008年～2010年期间，初步进行了以下工作:通过统计标志分组来实现对复杂数据结构的归类描述［57－58］，通过统计估计来实现不确定性的系统的不确定性描述［59］，通过统计过程控制理论来为系统信息变化的评判提供量化的基础［60］，通过统计学习理论来对有限样本的系统信息进行辨识［61］，通过主成分坐标变换来凸现结构特征［62］。

在这些工作中，可以认为:如果土木工程系统的状态发生改变，其响应数据必然相应变化;而不同状态的改变量，引起的响应数据的变化特征不同。也就是说，数据中肯定蕴含了系统特征，如时域加速度信号蕴含了频域特征;问题在于能否选用适当的方法，对响应数据中所关注的特征进行放大、凸现［63－64］。

因此，本文相信:类似傅里叶变换能揭示时域响应的频域信息，结构响应数据中的结构参数、荷载及其他系统变量的特征，可以通过统计方法，进行描述与判断，放大与解释，从而凸现所关注特征，由此实现对系统的辨识。

而各类统计方法引入过程中，工程或数值数据是否符合概率统计中的一些基本假设，是进行辨识的基础。如果不符合某些假设，那么如何对各类响应数据进行处理，使其符合相应假设?已有一些研究初步通过去趋势项、标准化数据等手段部分、初步地实现了此功能;另一方面，能否对统计方法中的基本假设做出符合响应数据特点的调整，并相应调整理论推导、计算分析，从而发展出基于土木工程响应数据的统计方法?前者对土木工程系统辨识的数据处理，可以提供一个重要的导向，有可能促生出新的系统数据处理的方法;而后者，则可能真正促生统计学的一个新的分支，对于现有研究，可能理论意义重大。如何进一步深入这两类研究，是本文后续工作的研究重点。

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