高等数学中几类常见问题解析

关文吉

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

高等数学中几类常见问题解析

关文吉

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

高等数学是大学数学类课程中的一门基础课程，在各个领域及学科中发挥着重要的作用.文章针对教学当中遇到的几类常见问题，提出了改进意见;给出了一类特殊代数和下的等价无穷小代换的方法;探讨了罗比达法则的适用范围以及柯西中值定理的证明.

等价无穷小代换;罗比达法则;柯西中值定理

高等数学中的定理和定义比较多，正确地理解并掌握这些概念和定理，是学好这门课的关键.由于学生基础不同，思维能力有差别，造成很多人在理解定义时出现了偏差，从而在解题时出现了错误.本文通过对几个典型问题的分析，进一步帮助学生掌握如何正确运用高等数学中一些定理和法则.

1 利用等价无穷小代换求极限

错误分析:等价无穷小求极限时，乘积因子可以用等价无穷小进行代换后再求极限，而对于和或差中的某一项不能随意使用等价无穷小进行代换［1］，要具体问题具体分析.

定理 设α(x)，α'(x)，β(x)，β'(x)为同一变化过程中的无穷小量.α(x)～α'(x)，β(x)～β'(x)，且，若c≠－1，则α(x)+β(x)～α'(x)+β'(x);若c≠1，则α(x)－β(x)～α'(x)－β'(x).

2 洛必达法则求极限问题

3 柯西中值定理证明中常见错误解析

微分中值定理是微分学中的基本定理，是构成微分学基础的重要内容，而它也是数学分析或高等数学中理论性强、证明方法独特、学生难以理解与掌握的内容.其中，以柯西中值定理为最.在此定理的证明过程中，学生常常会犯错误，下面给出常见错误并加以解析.

柯西中值定理［2］如果函数f(x)及g(x)满足:(1)在闭区间［a，b］上连续;(2)在开区间(a，b)内可导，且g'(x)≠0，则在(a，b)内至少有一点ξ，使成立.

关于这个定理的证明，常常有学生这样做:由于f(x)及g(x)都满足拉格朗日中值定理的条件，所以对f(x)及g(x)同时使用拉格朗日中值定理得到f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)和g(b)－g(a)=g'(ξ)(b－a)，两式子做商即得到结论.事实上稍加留心就会注意到，两式子当中的ξ并不相同，所以这种证明方法看似简单，其实是错误的.

下面给出柯西中值定理的证明:

构造辅助函数［3］

则函数φ(x)满足罗尔中值定理，即存在一点ξ，使得

当然柯西中值定理的证明有很多种，在学习中可以引导学生发现更多更好的证明方法.

［1］辛小龙.高等数学［M］.西安:西北大学出版社，2005.

［2］薛利敏.高等数学学习指导与习题详解［M］.西安:西北大学出版社，2007.

［3］四川大学数学系高等数学教研室.高等数学［M］.北京:高等教育出版社，1995.

【责任编辑 牛怀岗】

Analysis on Some Frequent Question in Advanced Mathematics

GUAN Wen-ji
(School of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714000，China)

As a fundamental course in college curriculum，Advanced Mathematics has played an increasingly important role in many fields and subjects.While learning，some students are inclined to make mistakes because of incomplete understanding of the theorem and the definition.The paper analyzes some frequent questions，and puts forward the views of reform;it popularizes the usage of equivalent infinitesimal in integral and sum and explores the proof Cauchy mean value theorem and area of application of L’Hospital rule.

equivalent infinitesimal;Cauchy mean value theorem;L’Hospital rule

book=45,ebook=41

O13

A

1009—5128(2012)06—0022—02

2012—04—12

渭南师范学院科研计划项目(11YKZ018;11YKF016)

关文吉(1978—)，女，陕西大荔人，渭南师范学院数学与信息科学学院讲师，理学硕士.