基于QPSO和ICA的图像盲分离方法研究

范文兵，邢军阳，李海涛，代琳娜

(郑州大学信息工程学院，河南郑州450001)

0 引言

盲源分离是指在源信号的系统和外部环境无法精确获知的情况下，将各个源信号从混迭信号(观测信号)中分离出的过程.独立分量分析［1］(Independent Component Analysis，ICA)作为盲源分离的一个重要研究方向，是信号处理技术领域近年来发展起来的一种新技术.独立分量分析的算法可以表示为：ICA算法=目标函数的选取+优化算法.对于目标函数的选取，包括高阶累积量、负熵、互信息及熵等;常用的优化算法主要有：梯度下降法，固定点算法等，但是这些算法有一个很大的缺陷就是全局收敛性能不理想，易陷入局部最优.为了克服ICA中常用算法的不足，笔者选负熵做为ICA的目标函数，并用量子行为粒子群算法［2］(QPSO)对负熵进行优化.该方法简单高效，与传统方法复杂、收敛速度慢的不足相比，有很大的优势.

1 问题描述

ICA是盲源分离最常用的一种，其算法可以这样描述［3〛：

设有N个未知的源信号构成了一个列向量S(t)=［S1(t)，S2(t)，…Sn(t)］T，其中 t=1，2，…，n;i=1，2，…n.经过 m ×n维的混合矩阵 A后，产生了 m 个观测信号 Xi(t)，i=1，2，…m，构成了列向量 X(t)=［X1(t)，X2(t)，…Xm(t)］T，信号传输过程中有M个白色、高斯、统计独立的噪声信号 Ni(t)，i=1，2，…，M，构成的列向量N(t)=［N1(t)，N2(t)，…，NM(t)］T，要求在已知观测信号Xi(t)而未知A的情况下，设置一个N×N维的反混合阵W=(wij)，求输入信号S(t)的近似解.它的数学模型可以表示为

从上述描述我们可以看出，ICA具有两个基本特征：

(1)源信号S(t)是未知的;

(2)在统计意义上讲，这里进行的分离是相互独立的.

ICA就是要找到一个解混矩阵W，使得观测信号X(t)通过该系统后，能够得到未知源信号S(t)的近似解Y(t)，这个过程可以表示为

其中，Y(t)= [Y1(t)，Y2(t)，…，YN(t)].

而这些都是建立在以下假设的基础上的：

(1)各信号Si(t)均为0均值、实随机变量，各信号之间统计独立;

(2)源信号数M与观测信号数N相同;

(3)各个Si(t)的概率分布函数中最多允许有一个具有高斯分布;

(4)各观察器引入的噪声很小，忽略不计;

(5)关于各源信号的概率分布函数略有一些先验知识.

根据信息论的知识，一组随机变量y的微分熵为

其中，P(y)为随机变量y的概率密度函数.而其负熵［4］可以表示为

式中的yg与y具有相同的方差，且yg是服从高斯分布的随机变量.对于两个方差相同的信号，高斯分布的信息熵最大，信号的非高斯性越强，负熵也就越大.当负熵最大时，就可以认为已经实现了盲源分离.这也就是基于负熵的独立性判决准则的ICA算法.

但是式(3)中负熵的计算涉及到随机变量概率密度的估计，它只是理论上的最优目标函数，在实际应用中受到制约.基于此，常使用高阶累积量作为负熵的近似计算公式［5］：

式中：ki(y)表示随即变量y的第i阶累积量.而在实际运算中常使用的近似负熵［6］公式为：

式中：c是大于零的常数，v是具有单位方差的零均值高斯变量，G(·)是一个非二次函数，根据不同的高斯性，可以取不同的值［7］.

式中：1≤a1≤2;a2≈1.

2 ICA中的QPSO

首先我们先简单介绍一下PSO算法［8］，该算法是近年来发展起来的一种新的群体智能优化算法，它将群体中的每个个体看作问题搜索空间中的一个粒子，代表问题的一个解，每个粒子都有位置和速度两个向量来描述，根据自身的以往经验和整个群体的经验不断调整位置和速度，直至找到全局最优解.在此过程中，随着速度的不断减小而逐渐收敛到全局最优点(P点)，从动力学角度看，在这一点实际上存在某种形式的吸引势能场一直吸引着粒子，从而保证了粒子的聚集.但PSO的最大缺点是不能以概率1收敛到全局最优解［9］.2004 年，Sun等根据前人的研究成果，将量子力学与传统的粒子群算法结合在一起，提出了一种基于δ势阱的、具有量子行为的粒子群算法(QPSO)，它认为粒子具有量子行为，因此可以在整个可行解空间中进行搜索.相对于标准PSO算法，它的收敛性能和全局搜索性更好，并且它只通过波函数ψ(X，t)来描述粒子状态，比标准PSO的参数更少.理论上已经证明了QPSO是一种全局收敛算法，实验结果也表明了它在几个基准函数的收敛性能要优于标准的PSO算法.

设在D维搜索空间中，有M个粒子，每个粒子都可以看作是没有重量和体积的微粒，它在搜索空间中以一定的速度飞行，而速度随着个体和群体的飞行经验不断调整，每个粒子代表着搜索空间的一个位置，通过下列公式进化：

式中：mbest指的是中值的最优位置;M表示群体中粒子的个数;pi是粒子i的最优位置;pg是整个群体的最优位置;p是pi与pg之间的随机点;α1，α2，u都是0～1之间的随机数;x(t)是t次迭代后粒子的位置信息;β的作用是控制粒子的收敛速度，称之为收缩扩张因子.一般情况下，在t次迭代时，β的取值［10］用下式表示：

QPSO算法的基本流程如下图所示.

图1 QPSO算法基本流程图Fig.1 Basic flowchart of QPSO algorithm

3 基于QPSO的ICA算法步骤

基于量子行为粒子群算法的独立分量分析算法主要有以下步骤.

(1)适应度函数的选取.对目标函数的选取，包括非高斯性极大化、互信息最小化以及最大似然估计等，在这里用非高斯性最大化方法，将负熵作为目标函数;

(2)数据的预处理.将混合后的观测信号X(t)进行中心化、预白化等初步的预处理，前者能够降低独立分量分析算法的复杂度，后者可以去除各观测信号之间的相关性;

(3)初始化粒子种群.设定搜索维度及群体中个体的个数，并随机产生每个粒子的初始位置向量;

While(迭代次数＜设定的迭代次数)，do.

(4)由粒子位置分离信号，并对分离后的信号进行中心化和预白化处理，根据式(6)计算每个粒子的适应度值;

(5)根据每个粒子的适应度值来更新个体的最优位置pi以及相应的向量;

(6)然后根据每个个体的最优位置来寻找并更新全局最优值及其它位置向量;

(7)根据式(9)、(10)、(11)计算 mbest、p 以及位置向量x;

(8)进入循环，判断是否满足终止条件，如果不满足，跳转至步骤(3)，否则跳转至步骤(9);(9)确定分离矩阵并输出分离信号.End.

4 仿真分析

4.1 图像分离仿真实验

选取3个图像信号和一个随机噪声信号如图2所示，4个独立信号以线性方式混合，混合图像如图3所示，对信号依次采用 FASTICA、PSOICA以及笔者提出的方法进行分离，仿真结果如图4～6所示，可以看到3种方法分离之后的图像顺序发生了变化，这是因为盲分离问题的不确定性，但是信号实现了有效的分离.

4.2 性能评价

由图像分离的效果可以清晰的看到不同算法的分离效果，同时也可以用一些定量指标来进一步衡量不同算法之间的性能.采用分离信号的信噪比，对于图像信号而言就是使用峰值信噪比PSNR作为衡量指标［11］，它的表达式如下所示：

峰值信噪比的大小随着算法性能变化，性能越好，峰值信噪比越大，说明信号的信号比提高的越大、解卷积的效果就越好.

另一种方法是使用PI指数［12］来作为评判分离效果的指标，它的表达式如下：

式中：gij表示矩阵 G 的(i，j)元素.它的值总是大于等于零，当它的值等于零的时候，G的每行每列有且仅有一个非零元素，因此，用此指标度量的时候，值越小说明分离效果越好.

下表是对3种不同算法的对比，表1表示4幅图像在不同算法下的峰值信噪比，表2表示3种算法下相应PI值.

表1 不同算法的信噪比Tab.1 SNR of different algorithms dB

由图像分离的仿真效果以及表1和表2中的两个指标的比较，可以看出笔者提出的算法在算法的收敛精度和速度上都有所提高.

表2 不同算法的相应PI值Tab.2 PI values of different algorithms

5 结论

笔者针对独立分量分析传统优化算法的不足，将量子粒子群优化算法引入到盲源分离中，给出一种基于量子粒子群的独立分量分析算法，解决了常规算法容易陷入局部最优的问题，通过仿真实例成功分离出源信号.结果表明了该算法切实有效，与传统算法以及其他改进算法对比，其性能和稳定性都有了提高.下一步的研究方向是改进量子粒子群算法并应用于独立分量分析中，期望能够得到更理想的效果.

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