MATLAB在大学物理实验教学中的应用*

2012-09-02陈顺芳徐四六

湖北科技学院学报 2012年12期

陈顺芳，徐四六

（湖北科技学院电子与信息工程学院，湖北咸宁 437100）

1 MATLAB 的作用

MATLAB是MATrixLABoratory的缩写，是一款由美国MathWorks公司出品的商业数学软件［1］.其是一种集算法开发、数据分析、数值计算、数据可视化的高级计算语言.MATLAB不仅具有绘制函数、矩阵运算、数据图像等常用功能，而且具有创建用户界面与方便地调用其它语言（包括C，C++和FORTRAN）编写的功能.

Matlab具有功能强大且界面友好的特点，使用者只需要使用Matlab的一些简单易懂的指令便可以迅速得到想要的结果；Matlab的帮助功能非常强大，各种命令有图文范例和详细讲解，使用者能够快速地查询各种指令的用法［2］.同时，Matlab可以简便的创建图形界面，创建按钮和图形的连接，设置各种输入参数而改变数据，从而更好地观察图形，动画的变化规律.物理学是一门实验性科学，我们可以构建物理模型，利用Matlab的绘图、计算、动画、声音、等功能来模拟物理实验现象；教师可以通过Matlab演示物理实验过程，从而来更好地解释物理现象和物理规律；学生可以利用虚拟的实验平台探究各种情境实验.利用Matlab能使复杂的物理实验可以在计算机中体现，学生不必进行具体的实验操作，可以将具体问题抽象化，加深学生对物理现象和规律的理解，提高实验教学的效率，并且能充分挖掘学生的想象力，培养学生的智力.

2 MATLAB 在物理实验教学中的应用

2.1 物理实验的动态仿真

2.1.1 双光束干涉

图（1）双缝干涉原理图（左）和双缝干涉图模拟图（右）

双光束干涉，按照分波面可以分为杨氏干涉、劳埃镜干涉、菲涅尔双棱镜和双面镜干涉等，按分振幅可分为麦克尔逊干涉等.图1（左）所示的是杨氏双缝干涉装置：

现在对双缝干涉条纹的位置做定量分析，假设S1与S2之间的距离为d，到屏幕的距离为r0，NP0是S1，S2的中垂线.在屏幕上任取一点P，设P点离P0的距离为x，P点到S1，S2距离分别为r1，r2，＜PNP0=θ.在实验中，一般认为r0＞＞d，θ很小，所以从S1与S2两线缝发出的光到达P点的光程差为

当P点到双缝的波程差为波长的整数倍时，P点处将出现明条纹.其中k为干涉级，k=0的明条纹为零级明纹或中央明纹，k=1，2，…对应的明条纹分别成为第一级、第二级……明纹.若P点到双缝的光程差为半波长的奇数倍时，P点处出现暗条纹，k=1，2，… 称为第一级、第二级……暗纹.波程差为其他的各点，光强介于明暗之间.因此可以在屏幕上看到明暗相间的稳定的干涉条纹.由计算可得，明条纹中心在屏上的位置为：

暗条纹的中心位置为：

两个相邻的明纹或者暗纹之间的距离为（即条纹间距）均为：

菲涅尔双棱镜、菲涅尔双面镜和劳埃镜等的干涉花样分布，都与此类似.两相干光源到接收屏上P点距离r1=（D2+（y－a/2）2）1/2，r2=（D2+（y+a/2）2）1/2，相位差Φ=2π（r2－r1）/λ，光强I=4I0cos2（Φ/2）.

编写程序如下：

clear lam=500e－9；a=2e－3；D=1；ym=5*lam*D/a；xs=ym；n=101；ys=linspace（－ym，ym，n）；for i=1：n r1=sqrt（（ys（i）－a/2）.^2+D^2）；r2=sqrt（（ys（i）+a/2）.^2+D^2）；phi=2*pi*（r2－r1）./lam；B（i，：）=sum（4*cos（phi/2）.^2）；end N=255；Br=（B/4.0）*N subplot（1，2，1）；image（xs，ys，Br）；colormap（gray（N））；subplot（1，2，2）；plot（B，ys）

通过编写Matlab程序，在计算机上运行得到双缝干涉图模拟图1（右）.从图中我们可以看到双缝干涉实验中，干涉条纹的等距性，条纹的强度明暗相间的变化规律.图中显示的结果与实验结果一致表明，一方面验证了光的波动理论的正确性，另一方面也体现了计算机模拟的本质和特征.

2.1.2 平面光栅衍射

由大量的等间距、等宽度的平行狭缝组成的光学元件成为衍射光栅.用于在透射光衍射的叫投射光栅，用于反射光衍射的叫做反射光栅.常用的投射光栅是在一块玻璃片上刻画出许多等间距、等宽度的平行刻痕，刻痕出相当于毛玻璃而不易透光，刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一个单缝，缝的宽度a和刻痕的宽度b之和，即a+b之和成为光栅常数.平行单色光垂直照射在光栅上交，由光栅出射的光线经过透镜L后，会聚与屏幕E上.

设光栅有N条狭缝，透镜焦距为f＇，理论分析可得到，夫琅禾费衍射的光屏上任意一点P的光强为

式中β=πdsinθ/λ，上式的前一部分与单缝衍射的强度相同，它来源于单缝衍射，是整个衍射图样的轮廓，称为单缝衍射因子.后一部分分数可以改写如下：因为dsinθ=δ为相邻两缝对应点到达观察点的光程差，这个光程差所引起的相位差为φ=2πdsinθ/λ=2β，光强分布公式的分数部分来源于缝间干涉，叫做缝间干涉因子，可写为

可见光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积，即单缝衍射因子对干涉主最大起调制作用.

对于一定的波长来说，根据dsinθ=jλ（j=0，±1，±2，…），可知各级谱线之间的距离有光栅常量d决定，各级谱线的强度分布将随着b与d的比值的变化而变化.由

不难决定各主最大值的振幅分布，把由光栅方程决定的sinθ的值代入上式，得到j级谱线的振幅为

关于上面论述的知识点，我们所学的教材只能给出了平面光栅衍射强度分布曲线，仅由光栅衍射此强度函数曲线图，读者还是会感觉到抽象，难以对此现象形成更为直接的直观印象，特别是平面光栅衍射中涉及的缺级现象更加难以理解，本文运用Matlab编写相应的程序，对此物理现象进行模拟.从图（2）我们可以看到：

（1）图样中出现一系列最大值和最小值，主最大两线较宽，次最大两线较弱.（2）主最大宽度随着N的增大而减小，其强度正比于N2，但位置与缝数N无关.（3）相邻主最大之间有N－1条暗纹和N－2个次最大.（4）强度分布中曲线的包迹与单缝衍射强度曲线一样.光栅衍射条纹，表面是单缝衍射和缝间干涉的共同结果.

图中显示的结果与实验结果基本一致，验证了光的波动理论的正确性.因此，通过MATLAB软件编程对衍射过程进行仿真，可以使光栅衍射现象和规律直观地表现出来.

2.2 物理实验数据的处理

大学物理实验的数据处理，常用一些粗略处理数据的方法：列表法，作图法，逐差法.在实验精度要求不高的普通物理实验中，我们经常要用到.而对于最小二乘法，若使用计算器的统计功能来计算，将会出现计算量大、按键错误、不方便核查校对，并且耗时费力的缺点，因此一般较小被采用［2］.相对于前面几种数据处理方法，Matlab软件是集数值、符号运算及图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言.用Matlab处理实验数据仅需编写几行简练程序，运行后就可得到所需的结果.应用它，一方面能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线，另一方面可以克服了最小二乘法计算量大、繁琐、枯燥的数值计算［3］，并且其运行结果可用复制、粘贴，可以在其它文字编辑软件运行，图形可用File菜单中“export”命令保存为常用类型的图形文件［4－6］.

下面我们以复摆实验为例，介绍用Matlab实现最小二乘法处理实验数据的方法.

把一根钻有一系列小圆孔的扁平金属棒挂在一固定的三棱柱刀口上，做幅角θ＜5o的摆动，这就是复摆.用米尺分别测出支点0到棒的端点的间距、棒的质心C，求出支点到摆的质心C的距离h，用周期测定仪测出复摆振动20次的全振动时间，求出复摆的振动周期T，实验数据列于表一，复摆的振动周期公式为