窥一斑而得全豹——从一道习题的解决谈数学复习策略

☉江苏省南通市通州区石港中学 何永峰

窥一斑而得全豹
——从一道习题的解决谈数学复习策略

☉江苏省南通市通州区石港中学 何永峰

一、例题呈现

已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0，试分析有没有一条斜率为1的直线l存在，使得l被圆C截得的弦AB可以作为一个圆的过原点的直径?如果该直线存在，试写出其方程；如果不存在，请分析理由.

二、问题分析及常规解法

这道例题属于探索型的题目，我们教师在实际的复习教学过程中，通常采用的是教学参考书或教辅资料上给出的参考解法，并灌输给学生.

解法1：假设存在满足条件的直线l：y=ax+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以有OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0. ①

解法评析：参考答案给出的这种解法初看上去属于通解通法，与借助代数方法研究几何问题的解析几何最为基本的数学思想相吻合，本题借助于“设而不求”的方法，直接将题干中的条件“以AB为直径的圆过原点”挖掘出来得“OA⊥OB”，再将A、B两点坐标通过数形结合的方法等价转化为等量关系式“x1x2+y1y2=0”.如果将题目中的情境圆换为圆锥曲线，解法上也是一样的.不过回过头去看这种解法，运算量大的缺点突显，学生不容易想到，就是想到了也容易算错.

笔者在教学过程中，用了以下两种方法，使问题很快得到解决，同时也训练了学生的思维能力.

三、另辟蹊径

假设以弦AB为直径并通过原点圆的方程是：x2+y2+Dx+Ey=0，其圆心的坐标为

得到直线l的方程为x－y+1=0或x－y－4=0.进一步检验，上述两个方程满足条件.

解法评析：将解法2与解法1进行对比可知，解法2相比而言解题的思路较为自然，运算量也比解法1有了明显的减小，非常贴近于学生的实际，只要稍加引导，学生就可以想到这种方法，并且解答的正确率比较高，这有利于激发学生的成就感，并进一步化为学习数学的动力.

解法3：从高考的实际来看，源于课本高于课本是命题的重要特点，因此，在教学过程中应合理拓展，对于这道例题的解法，笔者适当地补充知识：如果直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则通过该直线与圆交点的圆系方程为（x2+y2+Dx+Ey+F）+λ（Ax+By+C）=0.如果从这一知识点出发，具体解法如下：

解法评析：该方法涉及的知识点是对课本知识的拓展，通过该方法的渗透，引导学生对教材中的或是练习中常见的问题进行反思，教学过程中对知识点进行适当补充有利于学生思维的发散性，在反思和比较的过程中一些优秀的解法就会自然地生成，学生的数学思维能力、解题能力得到提升，并最终化为成绩的提高.

四、教学反思

教学目标尤其是高三复习课的目标在于巩固和加深学生原有的知识，通过对问题的思考与解决，促进学生的知识趋于系统化，使学生构建完整的知识结构，在复习和解答问题的过程中，帮助学生深化数学思想，提升解决数学问题的能力，包括概括能力和运用数学知识的能力，在能力的培养过程中逐步树立终身学习的良好习惯.

笔者在长期的教学实践中有了深刻的体会，不管是新课教学，还是高三数学复习，都应该从学生的最近发展区出发，切忌在学生原有水平上简单重复，需要有质疑的精神，要勤于分析参考答案的科学合理性，思考解题的捷径和其他方法，切忌将学生训练为机械模仿参考答案和存储知识的容器.实践表明，练不在多而在于精，因此，恰当适量地采用“一题多解”与“变式”教学，进行多角度的解题思路分析，探讨解题规律和解题方法与技巧，对学生巩固基础知识，形成知识网络，提高解题技能，发展逻辑思维，提高分析问题与解决问题的能力，会有明显的效果.