分类探讨，零点突破

☉湖南省株洲县第五中学 阳志长

分类探讨，零点突破

☉湖南省株洲县第五中学 阳志长

函数概念是高中数学的核心概念之一，函数知识是高中数学的主干内容，函数的思想方法贯穿于整个高中数学课程的始终.函数的零点是高中数学的新增内容，与方程、不等式、导数、极值等知识相关联，成为高考命题的“热点”和重点，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.有容易题，重点考查零点的概念与存在定理；有难题，重点考查联系的学习观点、综合运用知识的能力和数学思维能力.今分类探讨，分析学生的错误、困难所在，突破零点教学瓶颈，提高零点问题的解答水平.

一、抓住零点存在性及个数问题，正确理解函数零点与方程根的关系

函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，也就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标.变通一下，由方程f（x）=0得到g（x）=h（x），就是函数y=g（x）的图像与函数y=h（x）的图像的交点的横坐标.

例1（2012年高考数学天津卷理科第4题）函数f（x）=2x+x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解法1：因为f（0）=1+0－2=－1，f（1）=2+23－2=8，所以f（0）·f（1）＜0.又函数f（x）在（0，1）内连续不断且单调递增，故f（x）在（0，1）内的零点个数是1.选B.

解法2：由方程f（x）=0，得2x－2=x3，在同一坐标系中画出函数y=2x－2和y=x3的图像，由图像得曲线y=2x－2和y=x3在（0，1）内只有一个交点.选B.

点评：本题主要考查函数零点的概念、零点的存在定理，是零点的存在性及零点的个数问题，是会考、高考常考题型，属于容易题.2011年湖南理科第22题第（Ⅰ）问、2012年陕西理科第21题第（Ⅰ）问与此题是同种类型的问题，不过，考生存在表达问题方面的困难和一定的思维障碍.

解法1直接利用零点的存在定理解题，但是高一学习此定理时，学生的理解非常肤浅.“f（a）·f（b）＜0”是“函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点”的充分不必要条件，并且只知道函数y=f（x）在区间（a，b）内存在零点，到底有几个，还要考虑其他因素.高考复习时，可以通过反例，使学生自觉地与函数的图像、单调性结合起来.

解法2将问题转化为考查两个函数图像的交点问题.但是在分拆函数时，有多种选择，学生存在选择上的困难.高考复习时，要组织学生比较、选择最佳方案，以有利于画出图像、利用图像，引导学生正确理解函数零点与方程根的关系、函数零点与函数图像交点的关系，学习选择方法.

解法1：当a=0时，函数为（fx）=2x－3，其零点x=不在区间［－1，1］上.

当a≠0时，函数f（x）在区间［－1，1］上的零点又分为两种情况：

①函数在区间［－1，1］上只有一个零点，此时：

二、掌握含参零点问题的基本解法，促进函数、方程、不等式的相互转化

零点问题是方程、函数、不等式的交汇问题，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，因此具有一定的思维容量和难度，尤其是含参零点问题.

例2已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x－3－a，如果函数y=f（x）在区间［－1，1］上有零点，求实数a的取值范围.

点评：本题是含参零点问题，重点考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，无论是运算要求，还是分析问题、解决问题的思维能力，都对学生有较大的挑战性.

解法1分两级讨论，逐步深入，数形结合，将“函数f（x）有零点”转化为不等式（组）.通过解不等式（组），整合得到实数a的取值范围.学生容易忽视a=0的情形，就是在考虑a≠0时，也容易忽视“二次函数”的隐含条件及数形结合思想的运用，出现思维障碍，或转化错误.

解法2将函数零点问题，转化为考查函数y=3－2x和y=2ax2－a的图像的交点问题，数形结合，得到不等式（组），与解法1殊途同归，通过解不等式（组），得到实数a的取值范围.比例1的解法2选择难度更大，学生往往顾此失彼，思维不严谨，以致所得到的不等式（组）出现偏差、造成解题失误.

用相关解法，还可以解答2012年湖南理科第8题、山东理科第12题等试题，解法1和解法2是解决含参零点问题的基本方法.

三、把握极值、单调性、斜率等问题特征，与函数零点问题同步突破

一般地，与函数的极值、曲线切线的斜率、函数的单调性等相关的问题，归根结底，可以转化为函数的零点问题.因此，在处理相关问题时，可以尝试构造函数，将问题化归为函数的零点问题，运用导数的方法，使问题与零点问题同步突破，“盘活”一盘棋.

例3（2009年高考数学浙江卷理科第22题）已知函数f（x）=x3－（k2－k+1）x2+5x－2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.

设函数p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在区间（0，3）上不单调，求实数k的取值范围.

点评：本题归结为考查导函数的零点，是含参零点问题，可以与零点问题同步突破.

解法1承接例2解法1，由于转化不具等价性，要注意检验，防止因为没有考虑“端点”的问题而出错.

解法2运用分离参数方法，将问题进一步转化为函数的值域问题，另辟蹊径，给出求解含参零点问题的第3种方法.例2可以用此法求解，但是将面对分离变量时分母为0的问题；例3也可以用例2的解法2求解，将问题转化为考虑两个函数的交点问题，但是难度将加大，下面来看上文提到的例4.

例4（2012年高考数学陕西卷理科第21题）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N*，b、c∈R）.

点评：本题第（Ⅰ）问与例1是同种类型的问题，考查函数零点的概念、零点的存在定理.解题时用到导数方法，判断函数的单调性、确定零点的唯一性.

第（Ⅲ）问解法1，运用零点的概念，建立函数y=fn（x）与y=fn+1（x）的关系，通过放缩，得到fn（xn）＜fn（xn+1），再利用函数y=fn（x）的单调性得到结论.

第（Ⅲ）问解法2，根据零点的存在定理，得到函数fn+1（x）的零点xn+1在区间（xn，1）内，从而获得问题的解决．

第（Ⅲ）问的解法1和解法2，看似平凡，实属不易，要求考生目标明确，思路清晰．同时，还要综合运用不等式、函数单调性、数列等知识，用到放缩、化归等思想方法，对考生整体把握问题的能力和综合素养要求较高，具有“压轴题”切入不易深入更难的风格．

综上所述，含参是零点问题的基本特征，也为零点问题增添了不确定因素，以及解决零点问题的难度．解决含参零点问题有三种途径，一是直接根据函数零点存在条件，得到不等式（组）；二是转化为两个函数图像的交点问题，按照交点位置建立不等式（组）；三是分离参数，转化为求函数的值域．常见的极值、最值、不等式等问题，可以归结为函数的零点问题．零点问题可以出得容易，也可以出得较难，涉及众多概念，沟通多方关系，用到多种思想方法．因此，高考复习时，可以分类探讨，各个突破，再整合探究，以零点问题为突破口，推动学生数学思维运动和发展．