从认知规律例谈高中数学概念教学

●蔡勇刚 (温岭市泽国中学 浙江温岭 317523)

高中数学的概念是高度抽象的，因此要使学生能够更好地掌握数学概念，教师应该遵循学生发展的认知规律，以学生已有知识为基础，以启发学生思维为核心，引导学生由已知发现未知，从而建立自己的认知体系.从学生获得概念的过程和方法而言，笔者认为应遵循认知规律进行高中数学概念教学，可以从以下几个方面进行突破：

1 提供合适背景，着力意义建构

数学概念的生成应通过学生的感性认识，继而发展成理性认识，教学过程中应注重由学生的日常感悟经验出发，通过学生熟知的具体实例抽象概括出概念的本质属性.数学概念的引入时不得不面临一个重要的问题：如何借助学生的已有生活背景，来帮助概念形成的实际背景?因此，教师要想方设法创设适合概念引入的问题情境，帮助学生完成由简单感知到理性认识的过渡，并引导学生把概念背景材料与自己的认知结构建立起实质性联系.

1.1 借助实际生活，引入数学新概念

从学生熟知的实际问题出发实施概念教学，使学生在数学学习中更好地接受概念探究的过程，让学生对概念的学习有一个更加感性的认识，从而激发学生学习的欲望，积极参与到教学活动中来.笔者在随机事件的概率教学中设计了如下的问题：

某商家广告：不花1分钱就可中大奖而且每次都可中奖.在摸奖箱内有20个小球，其中10个10分，10个5分.摸奖者不必掏钱，只需随意摸出10个小球，然后按照小球上的分数之和，分数相加为100分者奖笔记本电脑一台，50分者奖手机一部.总分为95，90，85，70，65，55 等奖电池、口香糖等小奖品.但是如果摸奖者摸中小球的积分为75或者80，那须掏30元钱买一瓶洗发水，原价40元!心动不如行动，该出手就出手，电脑、手机跟你走!

思考：这样的摸奖活动，你会参加吗?

学生接触到这样的学习场景，表现出了极大的学习兴趣，纷纷开始讨论，课堂气氛非常活跃.课堂上出现了2种不同的结论，学生都有自己的想法，但是提不出具体的理由，教师适时给出课题，引入课堂教学.

1.2 创设生动的问题情景，引入数学新概念

在进行“随机事件及其概率”教学时，笔者进行过多次实践，如何才能让学生在一个生动的问题情景中开始随机事件的学习?后来采用了毛主席《沁园春·雪》中的诗句，借助诗句的意境让学生判断“六月飞雪”是否会发生.学生对事件进行判断后，借助多媒体进行事件展示(新闻播报)：近20年来，由于气候异常，出现在6月份并被气象部门记载的“六月飞雪”有3次.由此，教师适时地引入课题“随机事件及其概率”.数学教学借助诗句的意境，可以集中学生的注意力，同时也让学生在数学学习的过程中接受心灵的熏陶.而新闻播报的形式，让学生感受到生活中的数学问题，将课本教材中的问题进行适当地改造，结合知识性和趣味性，激发起学生学习新概念的积极性，让数学课堂成为学生探究的场所.

2 抓住知识本质，同化精致概念

数学概念的形成过程比单纯掌握概念本身重要，仅仅让学生简单应用、机械记忆数学概念是远远不够的.通过了解概念的本质，让学生形成具体到一般的概念应用过程是概念教学中至关重要的一步.对于数学概念和定理，它们的产生过程往往蕴涵着许多数学思想方法和解题思路，利用合理的概念探究学习，同化精致概念.因此，在数学概念的教学过程中，应留给学生一定的时间和空间，引导学生动手去探索、发现，让学生经历一个从具体到一般、由表到里的过程，并在这个过程中，使学生的直接性经验获得抽象和提升，创立合理的概念体系.以下是笔者“线面垂直的判定定理”的课例，颇有回味，与读者分享.

在日常生活中，对线面垂直的感性认识是很多的，如旗杆与地面、屋梁与墙面等，如何来判定呢?笔者拿出课前准备好的一张三角形纸片，过顶点A翻折该纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片放置在水平桌面上(如图1)，并请学生观察：折痕AD与桌面垂直吗?

图1

如何翻折才能使AD与桌面垂直?在动手操作过程中，学生容易发现，当且仅当折痕是BC边上的高时，翻折之后的折痕不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直(如图2).这是为什么呢?教学自然而然地进入到对该实际问题的研究中：因为AD⊥BC，翻折后这一垂直关系是一个不变的关系，即在图2中有AD⊥CD且AD⊥BD.似乎应有以下的结论：AD与平面α的2条相交直线垂直，则AD⊥α，这正是线面垂直的判定定理.如果折痕AD与桌面上的一条直线垂直，是否足以保证AD⊥α?让学生自己动手试一试.尽管AD垂直于一边，但纸张并不能稳稳地竖立在桌面上，让学生在操作中体验，一个抽象的数学定理直观地展现在面前.

图2

3 精选例题练习，加速概念内化

学生对新知识的获得和掌握，需要及时地应用巩固，一般在讲完概念定义之后要及时进行课内训练，如精心设计能巩固概念的填空、判断、选择等难易结合的例题，提高学生对新概念的认识和理解，加速学生的概念内化.通常选择一些容易让学生出现概念“盲点”的题目，让学生辨认，加深对所学概念的内涵及外延的认识.例如在“随机事件的概率”的教学中，笔者结合课本习题设计了以下问题：

例1 一个袋子中装有大小相同、质地均匀的3个红球和6个白球，每次从袋中摸出一个球.

(1)一共摸出5个球，求事件Ai：“刚好有i个红球”与事件B：“至少有1个红球”的概率;

(2)一共摸出5个球，求红球个数ζ的分布列，并回答摸出红球个数的最大可能性是多少?

在课堂教学中，教师引入了相关概念后，应成为学生的引导者，看看学生在面临问题时，如何展现概念的应用、反思和内化.

学生甲：第(1)小题先求P(B)再求P(Ai)，因为P(B)“至少1个红球”等价于求对立事件“没有红球”的概率.虽然算法不同，但结果相同：

而求P(A1)时，结果却出现了不同，不知哪个对哪个错：

学生乙：第(2)小题，当 ζ取值为 0，1，2，3，4，5时，相应的概率即为第(1)小题中对应的P(Ai)值.因此，计算P(A1)时，用排列的方法计算是错误的.Ai的含义指的是一共5个球中红球的个数，在“每次取1个”的过程中，所摸的5个球与“次序无关”，这就是错误的根源.

数学是思维的体操，数学学习既能锻炼学生的形象思维能力，又能锻炼学生的逻辑思维能力.在优化概念的教学中，例题习题的选择能够优化学生的思维品质，在解决问题的过程中加速概念的内化.

4 概念变式巩固，强化概念顺应

通过相关练习的安排，学生对相关概念有了初步的认识，但是这样的认识是不全面的，甚至是有偏差的，这就需要教师及时引导学生对新概念进行再认知，明确概念的内涵与外延.在教师教学的过程中，应从学生的认知规律进行教学，恰当地安排变式练习，使学生从不同的角度去认识概念的本质，通过条件的变化让学生在认知过程中进行“错”与“对”的反复推敲，通过错题来纠正学生的思维偏差.笔者在例1中设计以下问题，对学生进行新知识的强化：

(3)若有放回的摸球，共有5次摸球的机会，并规定：若有3次摸到红球则游戏停止.记游戏停止时，已摸到红球的次数为ζ，求ζ的概率分布列和数学期望.

学生丙：第(3)小题中 ζ取值为 0，1，2，3，其中事件“ζ=0”表示5次摸球中，0次摸到红球，5次摸到白球，概率为可是按此方法算下来，分布列的“概率和≠1”，但不知错在哪里，为什么会错?

通过前面的概念教学，学生掌握了初步的概率计算，在计算变量分布列的取值时犯了遗漏的错误.

5 构建知识体系，优化认知结构

在数学概念教学中，教师要留给学生足够的时间和空间，引导学生通过合理的自我评价与反思，找到问题所在，并在这个过程中构建起知识体系，优化认知结构，实现超越自我.从学习情感的角度出发，让学生对课堂概念学习进行评价和反思.

对于例1的第(2)小题，学生可以排除“0红5白、1红4白、2红3白、3红2白”等抽取情况，其中概率的计算正是随机事件概率模型中的“超几何分布”模型.通过教师的分析以及学生的练习，学生已学会了用“超几何分布”模型解决此类随机事件的概率问题，即学生已构建了相关的知识体系.接着，可以通过“学生自我评价表”(见表1)对掌握程度进行自我评价，进而优化知识结构.

表1 学生自我评价：“超几何分布”模型学习

概念的形成与应用是教学过程中必不可少的环节，重视概念教学，挖掘数学概念的内涵与外延，充分利用课堂教学中概念性质的形成规律是后续概念、性质生成之源.教师要引导学生进行一系列的有效反思，常常会起到事半而功倍的效果.反思是学生对于概念的再认识和再创造的过程，鼓励学生用已学的概念去发现和解决实际生活中的问题，更好地巩固对概念的认知.

概念学习不可能一蹴而就，它是一个循环反复的过程，需要教师从多维度、在多场合进行思考和创造.因此，数学课堂中的概念教学，应更加尊重学生的认知规律，在合适的教学点教给学生合适的概念知识，只有这样，概念教学才是自然的、顺应规律的.

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