“以定联动”破解中考压轴题

☉河南商水县希望中学 于学明

“以定联动”破解中考压轴题

☉河南商水县希望中学 于学明

一、构造直角三角形与已知直角三角形相似

对于此类题目，首先要分析确定所给三角形是直角三角形，并求出两直角边的比值，然后构造一个两直角边的比值与已知直角三角形两直角边的比值相等的直角三角形.构造直角三角形时，要先求出抛物线上符合条件的动点与已知定点所在的直线的解析式，再与抛物线的解析式联立解方程组即可.

2009年中考压轴题第二问，2011年中考压轴题第三问是此类型的题目，以2011年中考压轴题第三问为例进行分析.

题目：抛物线经过A（-2，0）、B（-3，3） 及原点O，顶点为C，如图1.P是抛物线上第一象限内的动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：（1） 根据题意，将A（-2，0）、B（-3，3）两点坐标代入抛物线的解析式y=ax2+bx中，求得抛物线的解析式为y=x2+2x.

二、两定点，找一动点构造等腰三角形

此类题目是构造等腰三角形，给定的两定点间的线段可以作为三角形的腰，求动点与一定点所在直线的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组求得等腰三角形底边另一顶点的坐标；也可以将给定的两定点间的线段作为三角形的底，求得底边中垂线的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组求得等腰三角形顶点的坐标.

2007年中考压轴题第三问，2008年中考压轴题第二问是此类型的题目，以2008年中考压轴题第二问为例进行分析.

题目：如图2，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：⑴将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点坐标代入抛物线的解析式y=ax2+bx+c，解得抛物线解析式为y=-x2+2x+3.

⑵分析确定动点P的位置.（P1、P2表示符合条件的P点有两个）

第二种情况，若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P的坐标为（2，3）.

三、三定点形成一直角，找一动点构造直角梯形

此类题目是构造直角梯形，给定的三定点可以组成一个直角，以这个角为直角梯形的一个底角，以直角的一边为直角梯形的一个底，根据两底平行，可得到动点所在的另一底的直线解析式，再与抛物线的解析式联立，解方程组求得构造直角梯形的动点坐标.

2008年中考压轴题第三问，2010年中考压轴题第三问是此类型的题目，以2008年中考压轴题第三问为例进行分析.

题目：如图3，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.设抛物线的顶点为D，若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标.

解析：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点坐标代入抛物线的解析式y=ax2+bx+c，解得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

（3）再确定动点M的位置.

第二种情况，若以DC为底边，M点不存在.所以符合条件的点M的坐标为（2，3）.

四、两定点，找两动点构造平行四边形

此类题目是已知两定点，寻找两动点构造平行四边形，可以以两定点间的线段为平行四边形的一边，另外一边可以由此定边平行移动得到.根据平行四边形的性质，对边平行且相等，就很容易找到符合条件的动点的坐标.另外若以给定的两定点为平行四边形的对角顶点，求得动点坐标.

2007年中考压轴题第二问，2011年中考压轴题第二问是此类型的题目，以2011年中考压轴题第二问为例进行分析.

题目：如图4，抛物线经过A（-2，0）、B（-3，3） 及原点O，顶点为C，若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.

解析：（1） 根据题意，将A（-2，0）、B（-3，3）代入y=ax2+bx中，求得抛物线的解析式为y=x2+2x.

（2）分析确定动点D的位置.（符合条件的点有三个）

第一种情况，以线段AO为一边构造平行四边形.ED∥AO，且ED=AO=2，点E在抛物线的对称轴上，所以点E的横坐标为-1，则点D的横坐标是1，即x=1，代入抛物线的解析式y=x2+2x，可得到点D的纵坐标为3.所以点D的坐标为（1，3）.

第二种情况，用同样的方法可以在抛物线对称轴的左侧得到另一点D的坐标为（-3，3）.

第三种情况，以线段AO为对角线构造平行四边形.因为E在抛物线的对称轴上，ED与AO相互平分，且AO的中点横坐标为x=-1，根据对称性可知顶点C（-1，-1）是符合条件的唯一动点D，即点C（-1，-1）也是符合条件的一个解.

综上所述，满足题目条件的点D为（1，3）、（-3，3）或（-1，-1）.