例谈等腰三角形的性质及其应用

☉河南镇平县涅阳一初中 王 清

例谈等腰三角形的性质及其应用

☉河南镇平县涅阳一初中 王 清

定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.

定理3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.

以上是等腰三角形的性质定理，这些性质定理在几何问题中有着广泛的应用，下面以近年来各地的中考试题为例，分类加以说明，供大家参考.

一、借助量角器求角度

例1 如图1，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________（只需写出0°～90°的角度）.

解析：此题要求考生能够将生活中的实物图形抽象为几何图形，能够从实物图中挖掘出相应的几何量.如图2所示，A、B是两个量角器的中心，点D在线段AB上，AC=AB，BD=BC，∠ABC=65°，求∠B的度数.

因为在△ABC中，AC=AB，根据等腰三角形的两个底角相等，所以∠A=180°-65°×2=50°，故答案为50°.

点评：转化与化归的策略很多，一般来说，提取已有的解题经验或将问题转化为熟悉的解题模式进行求解是解题的关键，象这样的例题，构造出数学图形从而实现问题有效转化的策略是值得同学们学习的.

二、借助于平面直角坐标系确定点的个数

例2 如图3，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（0，），点C在坐标平面内.若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C有几个.

解析：（1）当AB=AC时，以A为圆心，AB=2为半径画圆，与x、y轴交与C1、C2，由点A（1，0）和点B（0），这些条件可以求出以A为顶点的三角形是等腰三角形，且底角为30°，此时点C的坐标为（3，0）和（0，-）.

（2）当BC=BA时，以B为圆心，BA=2为半径画圆，由题意，在圆上我们可以找到两个点C3、C4，使以B为顶点的三角形是等腰三角形，且底角为30°，此时点C的坐标为（1，2+） 和（-2，）.

故答案为6.

点评：要使△ABC是等腰三角形，应分三种情况进行讨论，再通过画图来确定点C的位置.

三、借助于勾股定理求边长

例3 如图4，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD的长为多少.

点评：等腰三角形的“三线合一”是非常重要的性质，尤其在综合题中经常跟勾股定理联系起来进行考查.

四、借助于三角形相似求面积

例4 如图5，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）.

解析：此题运用等边三角形的性质以及相似的性质来解决.由题意可证得△EDF是等边三角形，而且△AEF、△BDF、△CDE均是有一个角是30°的直角三角形.

点评：根据“等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°”这一性质特征，从而所有等边三角形都是相似三角形，再根据相似三角形的性质特征求出面积比.

综上所述，与等腰三角形（等边三角形）的性质密切相关的综合题频频出现在各地的中考试卷上，已经成为考查三角形的一大热点，同学们在今后的学习中要把握本质特征，多动脑、勤动手，才能体验到学以致用的乐趣.